Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах a=m+2n и b=2m+n,где m и n - единичные векторы,образующие...

Для нахождения площади параллелограмма, построенного на векторах a=m+2n и b=2m+n, нам необходимо найти векторное произведение этих двух векторов. Площадь параллелограмма будет равна модулю этого векторного произведения.

Сначала найдем векторное произведение векторов a и b: a x b = |i j k|

      |1   2   0|
      |0   1   1|

a x b = (21-01)i - (10-01)j + (11-20)k a x b = 2i - 0j + 1k a x b = 2i + k

Теперь найдем модуль этого векторного произведения: |a x b| = sqrt(2^2 + 0^2 + 1^2) = sqrt(4 + 1) = sqrt(5)

Итак, площадь параллелограмма, построенного на векторах a=m+2n и b=2m+n, равна sqrt(5). Вот рисунок этого параллелограмма:

(вставьте рисунок параллелограмма с векторами a и b)

Площадь параллелограмма равна произведению длин векторов a и b умноженному на синус угла между ними.

S = |a| |b| sin(30°) = √3 √3 0.5 = 3/2.

(вставить рисунок параллелограмма)

Для нахождения площади параллелограмма, построенного на векторах (\mathbf{a} = \mathbf{m} + 2\mathbf{n}) и (\mathbf{b} = 2\mathbf{m} + \mathbf{n}), используем векторное произведение. Площадь параллелограмма, построенного на векторах (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}), равна модулю векторного произведения этих векторов: (|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|).

1. Нахождение векторного произведения

Пусть (\mathbf{m}) и (\mathbf{n}) — единичные векторы с углом (\theta = 30^\circ) между ними. Векторное произведение (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) можно выразить как детерминант матрицы:

[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ m_1+2n_1 & m_2+2n_2 & m_3+2n_3 \ 2m_1+n_1 & 2m_2+n_2 & 2m_3+n_3 \end{vmatrix} ]

Однако, так как ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ) лежат в одной плоскости и образуют угол ( 30^\circ ), мы можем упростить задачу:

[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (m_1 + 2n_1, m_2 + 2n_2, 0) \times (2m_1 + n_1, 2m_2 + n_2, 0) ]

Векторное произведение в данном случае будет перпендикулярно плоскости, в которой лежат (\mathbf{m}) и (\mathbf{n}).

1. Упрощение через скалярное произведение

Скалярное произведение (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) не нужно для вычисления площади, но полезно знать:

[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{m}||\mathbf{n}|\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

1. Вычисление площади

Используем формулу площади через модуль векторного произведения:

[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin(\theta) ]

где (\theta) — угол между векторами, который можно найти через их скалярное произведение:

[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + 0^2} = \sqrt{5} ]

[ |\mathbf{b}| = \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + 0^2} = \sqrt{5} ]

Скалярное произведение:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (m_1 + 2n_1)(2m_1 + n_1) + (m_2 + 2n_2)(2m_2 + n_2) = 2 + 4(m \cdot n) + 1 = 5 + 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 + 2\sqrt{3} ]

Таким образом, угол (\theta) между (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) можно найти из:

[ \cos(\theta) = \frac{5 + 2\sqrt{3}}{5} ]

Для площади используем:

[ \sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} ]

И, наконец, площадь:

[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin(\theta) = 5 \times \sin(\theta) ]

Это дает окончательную площадь. Для полного решения необходимо точно вычислить (\sin(\theta)) и подставить в формулу.

Рисунок

На рисунке должны быть изображены векторы (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}), а также угол между ними. Векторы (\mathbf{m}) и (\mathbf{n}) образуют угол (30^\circ) и служат базой для построения (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}).