Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания...

Для нахождения площади боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, нужно определить периметр основания призмы и высоту.

1. Радиус основания цилиндра ( R = 4\sqrt{3} ).
2. В правильной треугольной призме основание – это правильный треугольник, вписанный в круг радиуса ( R ). Для правильного треугольника со стороной ( a ) радиус описанной окружности ( R ) равен ( R = \frac{a}{\sqrt{3}} ). Отсюда, сторона ( a = R \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12 ).
3. Периметр основания ( P = 3a = 3 \cdot 12 = 36 ).
4. Высота призмы ( h = 6 ).

Площадь боковой поверхности ( S_b = P \cdot h = 36 \cdot 6 = 216 ).

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна ( 216 ) квадратных единиц.

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, начнем с анализа задачи и вычислений.

Дано:

1. Радиус основания цилиндра ( R = 4\sqrt{3} ).
2. Высота цилиндра ( h = 6 ).
3. Призма вписана в цилиндр, а её основание — правильный треугольник.

Шаг 1: Определяем сторону правильного треугольника

Основание правильной треугольной призмы вписано в круг (основание цилиндра). Это значит, что окружность описана около правильного треугольника. Радиус ( R ) окружности, описанной около правильного треугольника, выражается через сторону треугольника ( a ) следующим образом:

[ R = \frac{a}{\sqrt{3}}. ]

Подставим значение радиуса ( R = 4\sqrt{3} ):

[ 4\sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}. ]

Умножим обе стороны на ( \sqrt{3} ), чтобы избавиться от дроби:

[ a = 12. ]

Таким образом, сторона правильного треугольника, лежащего в основании призмы, равна ( a = 12 ).

Шаг 2: Площадь боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей её боковых граней. Каждая боковая грань — это прямоугольник с одной стороной, равной высоте призмы ( h ), и другой стороной, равной стороне треугольника ( a ). Поскольку призма правильная, боковых граней три, и они равны.

Площадь одной боковой грани:

[ S_{\text{грани}} = a \cdot h. ]

Подставим ( a = 12 ) и ( h = 6 ):

[ S_{\text{грани}} = 12 \cdot 6 = 72. ]

Теперь умножим на 3 (так как боковых граней три):

[ S{\text{боковая}} = 3 \cdot S{\text{грани}} = 3 \cdot 72 = 216. ]

Ответ:

Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна:

[ \boxed{216}. ]

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, необходимо сначала определить размеры призмы, используя данные о цилиндре.

Шаг 1: Определение параметров основания призмы

Правильная треугольная призма имеет в основании правильный треугольник. Если призма вписана в цилиндр, то треугольник будет вписан в круг, который является основанием цилиндра.

Радиус основания цилиндра равен ( R = 4\sqrt{3} ).

Для правильного треугольника, вписанного в круг радиуса ( R ), длина стороны треугольника ( a ) может быть найдена по формуле: [ a = R \cdot \sqrt{3} ] Подставим значение радиуса: [ a = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12 ]

Шаг 2: Находим высоту призмы

Высота призмы равна высоте цилиндра, которая дана в условии и равна 6.

Шаг 3: Площадь боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы вычисляется по формуле: [ S{\text{бок}} = P{\text{осн}} \cdot h ] где ( P_{\text{осн}} ) — периметр основания призмы, а ( h ) — высота призмы.

Сначала найдем периметр основания: [ P_{\text{осн}} = 3a = 3 \cdot 12 = 36 ]

Теперь подставим периметр и высоту в формулу для площади боковой поверхности: [ S_{\text{бок}} = 36 \cdot 6 = 216 ]

Ответ

Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, равна ( 216 ) квадратных единиц.