Найдите объем правильного тетраэдра с ребром 1 см.

Для нахождения объема правильного тетраэдра с ребром длиной 1 см можно воспользоваться формулой:

V = (a^3 * √2) / 12,

где V - объем тетраэдра, a - длина ребра.

Подставляя данное значение a = 1 см в формулу, получим:

V = (1^3 * √2) / 12 = (√2) / 12 ≈ 0,11785 см^3.

Таким образом, объем правильного тетраэдра с ребром 1 см составляет примерно 0,11785 кубических сантиметра.

Чтобы найти объём правильного тетраэдра с длиной ребра 1 см, можно использовать формулу для объёма правильного тетраэдра:

[ V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3 ]

где ( V ) — объём тетраэдра, а ( a ) — длина ребра.

Подставим значение ( a = 1 ) см в формулу:

[ V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 1^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} ]

Таким образом, объём правильного тетраэдра с ребром 1 см равен (\frac{\sqrt{2}}{12}) кубических сантиметров.

Давайте разберёмся, откуда берётся эта формула. Правильный тетраэдр — это трёхмерная фигура, состоящая из четырёх равносторонних треугольников. Для нахождения объёма мы можем использовать несколько подходов, но наиболее распространённый основывается на использовании формулы объёма пирамиды:

[ V = \frac{1}{3} \times S_{base} \times h ]

где ( S_{base} ) — площадь основания, а ( h ) — высота, проведённая из вершины тетраэдра к основанию.

В правильном тетраэдре любое из его граней может быть выбрано в качестве основания. Площадь равностороннего треугольника со стороной ( a ) вычисляется по формуле:

[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ]

При ( a = 1 ) см это будет:

[ S_{base} = \frac{\sqrt{3}}{4} ]

Высота ( h ) в правильном тетраэдре может быть найдена как расстояние от вершины до центра основания, и она вычисляется по формуле:

[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{1^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

Теперь можем подставить эти значения в формулу объёма пирамиды:

[ V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{1}{8} ]

Кажется, мы сделали ошибку в вычислении, поскольку правильно использовать полную формулу для высоты тетраэдра. Давайте пересчитаем:

Высота ( h ) правильного тетраэдра на самом деле вычисляется как:

[ h = \sqrt{\frac{2}{3}} \times a ]

При ( a = 1 ) см это будет:

[ h = \sqrt{\frac{2}{3}} ]

Теперь пересчитаем объём:

[ V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{12} ]

Это подтверждает, что объём правильного тетраэдра с ребром 1 см равен (\frac{\sqrt{2}}{12}) кубических сантиметров.