Найдите модуль и аргумент числа 8+2i/5-3i

Для нахождения модуля и аргумента комплексного числа ( \frac{8 + 2i}{5 - 3i} ) сначала нужно представить его в алгебраической форме. Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное число знаменателя:

[ \frac{8 + 2i}{5 - 3i} = \frac{(8 + 2i)(5 + 3i)}{(5 - 3i)(5 + 3i)} ]

[ = \frac{40 + 24i + 10i + 6i^2}{25 - 9i^2} ]

[ = \frac{40 + 34i - 6}{25 + 9} ]

[ = \frac{34 + 34i}{34} ]

[ = 1 + i ]

Теперь найдем модуль и аргумент числа (1 + i). Модуль комплексного числа определяется как ( |z| = \sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2} ), а аргумент - как ( \theta = \arctan(\frac{Im(z)}{Re(z)}) ). Для числа (1 + i):

Модуль: ( |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} )

Аргумент: ( \theta = \arctan(\frac{1}{1}) = \frac{\pi}{4} )

Таким образом, модуль числа ( \frac{8 + 2i}{5 - 3i} ) равен ( \sqrt{2} ), а его аргумент равен ( \frac{\pi}{4} ).

Для нахождения модуля и аргумента комплексного числа, заданного в форме ( \frac{8+2i}{5-3i} ), сначала приведем его к более удобной форме. Мы начнем с умножения числителя и знаменателя на сопряженное к знаменателю выражение, чтобы избавиться от мнимой части в знаменателе.

1. Множим числитель и знаменатель на сопряженное:

Сопряженное к ( 5-3i ) это ( 5+3i ). Таким образом, мы получаем:

[ \frac{8+2i}{5-3i} \cdot \frac{5+3i}{5+3i} = \frac{(8+2i)(5+3i)}{(5-3i)(5+3i)} ]

1. Выполняем умножение в числителе:

[ (8+2i)(5+3i) = 8 \cdot 5 + 8 \cdot 3i + 2i \cdot 5 + 2i \cdot 3i ] [ = 40 + 24i + 10i + 6i^2 ] [ = 40 + 34i + 6(-1) ] [ = 40 + 34i - 6 ] [ = 34 + 34i ]

1. Упрощаем знаменатель:

[ (5-3i)(5+3i) = 5^2 - (3i)^2 ] [ = 25 - 9(-1) ] [ = 25 + 9 ] [ = 34 ]

1. Записываем результат:

[ \frac{34+34i}{34} = \frac{34}{34} + \frac{34i}{34} ] [ = 1 + i ]

Теперь у нас есть упрощенное комплексное число ( 1 + i ).

1. Находим модуль:

Модуль комплексного числа ( z = x + yi ) определяется как:

[ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} ]

Для нашего числа ( 1 + i ):

[ |1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} ]

1. Находим аргумент:

Аргумент комплексного числа ( z = x + yi ) определяется как:

[ \arg(z) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) ]

Для нашего числа ( 1 + i ):

[ \arg(1+i) = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} ]

Таким образом, модуль числа ( \frac{8+2i}{5-3i} ) равен ( \sqrt{2} ), а его аргумент равен ( \frac{\pi}{4} ).