Найдите косинусы углов треугольника АВС , если А(1;7) В(-2;4) С(2;0)

Чтобы найти косинусы углов треугольника с вершинами A(1;7), B(-2;4), C(2;0), мы начнем с вычисления длин сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости.

1. Длина стороны AB: [ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{[(-2) - 1]^2 + [4 - 7]^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}. ]

2. Длина стороны BC: [ BC = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2} = \sqrt{[2 - (-2)]^2 + [0 - 4]^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}. ]

3. Длина стороны CA: [ CA = \sqrt{(x_1 - x_3)^2 + (y_1 - y_3)^2} = \sqrt{[1 - 2]^2 + [7 - 0]^2} = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. ]

Теперь, когда у нас есть длины сторон, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения косинусов углов. Теорема косинусов гласит: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C, ] где (a), (b) и (c) — стороны треугольника, а (C) — угол, противолежащий стороне (c).

1. Косинус угла CAB (угол C): [ (5\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos C ] [ 50 = 18 + 32 - 24 \cos C ] [ 50 = 50 - 24 \cos C ] [ 24 \cos C = 0 ] [ \cos C = 0 ]

2. Косинус угла ABC (угол A): [ (3\sqrt{2})^2 = (5\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos A ] [ 18 = 50 + 32 - 40 \cos A ] [ -64 = -40 \cos A ] [ \cos A = \frac{64}{40} = \frac{8}{5} ]

3. Косинус угла BCA (угол B): [ (4\sqrt{2})^2 = (5\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos B ] [ 32 = 50 + 18 - 30 \cos B ] [ -36 = -30 \cos B ] [ \cos B = \frac{36}{30} = \frac{6}{5} ]

Здесь возникла ошибка в вычислениях, приводящая к невозможным значениям косинусов больше 1. Ошибка заключается в неправильном применении теоремы косинусов. Правильные значения:

[ \cos A = \frac{32 + 50 - 18}{40} = \frac{64}{40} = 1.6 ] [ \cos B = \frac{18 + 50 - 32}{30} = \frac{36}{30} = 1.2 ]

Эти значения также некорректны, так как косинус угла не может быть больше 1. Пересчитаем.

Для нахождения косинусов углов треугольника АВС, сначала нужно найти длины его сторон, а затем применить формулы косинусов для нахождения косинусов углов.

1. Найдем длины сторон треугольника АВС:

сторона AB = √((1 - (-2))^2 + (7 - 4)^2) = √(3^2 + 3^2) = √(9 + 9) = √18 сторона BC = √((2 - (-2))^2 + (0 - 4)^2) = √(4^2 + 4^2) = √(16 + 16) = √32 сторона AC = √((2 - 1)^2 + (0 - 7)^2) = √(1^2 + 7^2) = √(1 + 49) = √50

1. Теперь найдем косинусы углов треугольника АВС, используя формулу косинусов:

Косинус угла при вершине A: cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) = (18 + 50 - 32) / (2√18√32) = 36 / (2*6√2) = 3 / (6√2) = 1 / (2√2)

Косинус угла при вершине B: cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac) = (18 + 50 - 32) / (2√18√50) = 36 / (2*6√5) = 3 / (6√5) = 1 / (2√5)

Косинус угла при вершине C: cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab) = (18 + 32 - 50) / (2√18√32) = 0 / (2*6√2) = 0

Таким образом, косинусы углов треугольника АВС равны: cosA = 1 / (2√2) cosB = 1 / (2√5) cosC = 0

Для нахождения косинусов углов треугольника АВС нужно найти длины сторон и затем применить формулу косинуса угла в треугольнике.