Найдите косинус угла М треугольника КСМ, если К(1;7), С(-2;4), М(2;0)
Найдите косинус угла М треугольника КСМ, если К(1;7), С(-2;4), М(2;0)
Для нахождения косинуса угла М треугольника КСМ нужно воспользоваться формулой косинуса угла треугольника: cos(M) = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab, где a, b, c - длины сторон треугольника.
Для того чтобы найти косинус угла (М) в треугольнике (КСМ), воспользуемся векторным методом, так как он позволяет эффективно работать с координатами точек.
Найдем векторы:
Вектор (\overrightarrow{KS}) имеет координаты: [ \overrightarrow{KS} = (x_S - x_K; y_S - y_K) = (-2 - 1; 4 - 7) = (-3; -3) ]
Вектор (\overrightarrow{MS}) имеет координаты: [ \overrightarrow{MS} = (x_S - x_M; y_S - y_M) = (-2 - 2; 4 - 0) = (-4; 4) ]
Используем скалярное произведение векторов для нахождения косинуса угла между ними:
Скалярное произведение векторов (\overrightarrow{KS}) и (\overrightarrow{MS}): [ \overrightarrow{KS} \cdot \overrightarrow{MS} = x{KS} \cdot x{MS} + y{KS} \cdot y{MS} = (-3) \cdot (-4) + (-3) \cdot 4 = 12 - 12 = 0 ]
Найдем длины векторов (их модули):
Длина вектора (\overrightarrow{KS}): [ |\overrightarrow{KS}| = \sqrt{x{KS}^2 + y{KS}^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} ]
Длина вектора (\overrightarrow{MS}): [ |\overrightarrow{MS}| = \sqrt{x{MS}^2 + y{MS}^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} ]
Найдем косинус угла между векторами:
По формуле косинуса угла между двумя векторами: [ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{KS} \cdot \overrightarrow{MS}}{|\overrightarrow{KS}| \cdot |\overrightarrow{MS}|} ]
Подставим найденные значения: [ \cos M = \frac{0}{(3\sqrt{2}) \cdot (4\sqrt{2})} = \frac{0}{24} = 0 ]
Таким образом, косинус угла (M) треугольника (KСM) равен (0). Это означает, что угол (M) является прямым углом, так как косинус прямого угла равен нулю.
Для того чтобы найти косинус угла М треугольника КСМ, нужно использовать формулу косинуса угла между двумя векторами:
cos(угол) = ((ах1 ах2) + (ау1 ау2)) / (√(ах1^2 + ау1^2) * √(ах2^2 + ау2^2))
где ах1, ау1 - координаты вектора КМ, ах2, ау2 - координаты вектора СМ.
Вектор КМ: ах1 = 2 - 1 = 1 ау1 = 0 - 7 = -7
Вектор СМ: ах2 = 2 - (-2) = 4 ау2 = 0 - 4 = -4
Подставляем значения в формулу: cos(угол) = ((1 4) + (-7 -4)) / (√(1^2 + (-7)^2) √(4^2 + (-4)^2)) cos(угол) = (4 + 28) / (√(1 + 49) √(16 + 16)) cos(угол) = 32 / (√50 √32) cos(угол) = 32 / (5 4√2) cos(угол) = 32 / 20√2 cos(угол) = 8 / 5√2
Таким образом, косинус угла М треугольника КСМ равен 8 / 5√2.
