Найдите длины векторов m=2a+3b ,n=2a-3b,их скалярное произведение и угол между ними,если a=i-j+2k,b=2i+2j

Для начала найдем длины векторов m и n. Длина вектора вычисляется по формуле |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²), где v₁, v₂, v₃ - координаты вектора по осям x, y, z соответственно.

Для вектора m: m = 2a + 3b = 2(1, -1, 2) + 3(2, 2, 0) = (2, -2, 4) + (6, 6, 0) = (8, 4, 4) |m| = √(8² + 4² + 4²) = √(64 + 16 + 16) = √96 = 4√6

Для вектора n: n = 2a - 3b = 2(1, -1, 2) - 3(2, 2, 0) = (2, -2, 4) - (6, 6, 0) = (-4, -8, 4) |n| = √((-4)² + (-8)² + 4²) = √(16 + 64 + 16) = √96 = 4√6

Теперь найдем скалярное произведение векторов m и n. Скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними.

mn = (8, 4, 4) (-4, -8, 4) = 8(-4) + 4(-8) + 4*4 = -32 - 32 + 16 = -48

Теперь найдем угол между векторами m и n. Угол между векторами вычисляется по формуле cos(α) = (mn) / (|m| |n|), где α - угол между векторами.

cos(α) = -48 / (4√6 * 4√6) = -48 / 96 = -1/2 α = arccos(-1/2) = 120 градусов

Таким образом, длины векторов m и n равны 4√6, скалярное произведение равно -48, а угол между векторами составляет 120 градусов.

Для того чтобы найти длины векторов ( \mathbf{m} = 2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} ) и ( \mathbf{n} = 2\mathbf{a} - 3\mathbf{b} ), их скалярное произведение и угол между ними, нужно выполнить следующие шаги:

1. Определим векторы (\mathbf{m}) и (\mathbf{n}):

   Вектор (\mathbf{a}) задан как ( \mathbf{a} = \mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k} ).

   Вектор (\mathbf{b}) задан как ( \mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} ).

   Теперь вычислим векторы (\mathbf{m}) и (\mathbf{n}):

   [ \mathbf{m} = 2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} = 2(\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k}) + 3(2\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) ] [ \mathbf{m} = 2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 4\mathbf{k} + 6\mathbf{i} + 6\mathbf{j} ] [ \mathbf{m} = (2+6)\mathbf{i} + (-2+6)\mathbf{j} + 4\mathbf{k} ] [ \mathbf{m} = 8\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 4\mathbf{k} ]

   [ \mathbf{n} = 2\mathbf{a} - 3\mathbf{b} = 2(\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k}) - 3(2\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) ] [ \mathbf{n} = 2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 4\mathbf{k} - 6\mathbf{i} - 6\mathbf{j} ] [ \mathbf{n} = (2-6)\mathbf{i} + (-2-6)\mathbf{j} + 4\mathbf{k} ] [ \mathbf{n} = -4\mathbf{i} - 8\mathbf{j} + 4\mathbf{k} ]

2. Найдем длины векторов ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ):

   Длина вектора ( \mathbf{m} ) определяется как:

   [ |\mathbf{m}| = \sqrt{8^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16 + 16} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} ]

   Длина вектора ( \mathbf{n} ) определяется как:

   [ |\mathbf{n}| = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 64 + 16} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} ]

3. Найдем скалярное произведение ( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} ):

   Скалярное произведение двух векторов ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ) определяется как:

   [ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 8 \cdot (-4) + 4 \cdot (-8) + 4 \cdot 4 ] [ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = -32 - 32 + 16 = -48 ]

4. Найдем угол между векторами ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ):

   Угол ( \theta ) между векторами можно найти через скалярное произведение:

   [ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{m}| |\mathbf{n}| \cos(\theta) ] [ -48 = (4\sqrt{6})(4\sqrt{6}) \cos(\theta) ] [ -48 = 96 \cos(\theta) ] [ \cos(\theta) = -\frac{48}{96} = -\frac{1}{2} ]

   Следовательно, угол ( \theta ) будет:

   [ \theta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ \text{ или } \frac{2\pi}{3} \text{ радиан} ]

Ответ:

• Длина вектора ( \mathbf{m} = 4\sqrt{6} )
• Длина вектора ( \mathbf{n} = 4\sqrt{6} )
• Скалярное произведение ( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = -48 )
• Угол между векторами ( \theta = 120^\circ )

Длины векторов m и n равны 5 и 5, скалярное произведение равно -25, угол между ними равен 180 градусам.