Найдите длину окружности, если площадь вписанного в нее правильного шестиугольника равна 72 корня из...

Для начала вспомним, что площадь правильного шестиугольника можно выразить через длину его стороны (а) по формуле: [ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2. ]

Из условия задачи известно, что площадь шестиугольника равна (72\sqrt{3}). Подставляем это значение в формулу площади: [ \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = 72\sqrt{3}. ]

Далее упрощаем уравнение: [ 3\sqrt{3} a^2 = 144\sqrt{3}, ] [ a^2 = 48, ] [ a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}. ]

Сторона правильного шестиугольника (a) также является радиусом описанной около него окружности (R). Таким образом, (R = a = 4\sqrt{3}).

Теперь найдем длину окружности (L) по формуле: [ L = 2\pi R = 2\pi \cdot 4\sqrt{3} = 8\pi\sqrt{3}. ]

Таким образом, длина окружности, вписанной в правильный шестиугольник, площадь которого равна (72\sqrt{3}) квадратных сантиметров, составляет (8\pi\sqrt{3}) сантиметров.

Для решения этой задачи нам необходимо использовать формулы, связанные с правильными многоугольниками.

Площадь правильного шестиугольника можно выразить через его сторону ( a ) следующим образом: [ S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 ]

Площадь вписанного в окружность правильного шестиугольника равна площади этой окружности. Площадь окружности можно определить по формуле: [ S_{\text{окр}} = \pi r^2 ]

Таким образом, мы можем записать следующее равенство: [ \pi r^2 = 72\sqrt{3} ]

Так как правильный шестиугольник можно разделить на 6 равносторонних треугольников, то его сторона будет равна радиусу окружности ( r ). Таким образом, сторона правильного шестиугольника равна: [ a = r ]

Подставив это в формулу для площади правильного шестиугольника, получаем: [ \frac{3\sqrt{3}}{2}r^2 = 72\sqrt{3} ]

Отсюда находим радиус окружности ( r ): [ r = 8 ]

Длина окружности ( L ) выражается через радиус окружности следующим образом: [ L = 2\pi r ]

Подставив значение радиуса ( r = 8 ), получаем: [ L = 16\pi ]

Таким образом, длина окружности, если площадь вписанного в нее правильного шестиугольника равна ( 72\sqrt{3} ) (см)², составляет ( 16\pi ) см.

Длина окружности равна 12π см.