Найдите длину линии пересечения сферы радиуса 5 и плоскости, удаленной от центра этой сферы на 3.

Для нахождения длины линии пересечения сферы радиуса 5 и плоскости, удаленной от центра сферы на 3, нужно рассмотреть геометрическое положение плоскости относительно сферы.

1. Основные данные задачи:

   • Радиус сферы ( R = 5 ).
   • Расстояние от центра сферы до плоскости ( d = 3 ).

2. Понимание пересечения: Плоскость, удаленная от центра сферы на 3 единицы, пересекает сферу, образуя окружность. Радиус этой окружности можно найти, используя теорему Пифагора в треугольнике, где гипотенуза равна радиусу сферы, а один из катетов равен расстоянию от центра сферы до плоскости.

3. Радиус окружности пересечения: Обозначим радиус окружности пересечения как ( r ).

   Используем теорему Пифагора: [ R^2 = r^2 + d^2 ] Подставим известные значения: [ 5^2 = r^2 + 3^2 ] [ 25 = r^2 + 9 ] [ r^2 = 25 - 9 ] [ r^2 = 16 ] [ r = \sqrt{16} ] [ r = 4 ]

4. Длина окружности: Длина окружности ( L ) выражается через радиус окружности ( r ) и число ( \pi ): [ L = 2 \pi r ] Подставим найденное значение радиуса окружности: [ L = 2 \pi \cdot 4 ] [ L = 8 \pi ]

Таким образом, длина линии пересечения сферы радиуса 5 и плоскости, удаленной от центра этой сферы на 3, равна ( 8 \pi ).

Для того чтобы найти длину линии пересечения сферы и плоскости, нужно использовать уравнение сферы и уравнение плоскости.

Уравнение сферы с центром в точке (0,0,0) и радиусом 5 имеет вид: x^2 + y^2 + z^2 = 25

Уравнение плоскости, параллельной данной плоскости и удаленной от нее на 3, можно записать в виде: x^2 + y^2 + z^2 = 9

Теперь найдем точки пересечения этих двух поверхностей. Подставим уравнение плоскости в уравнение сферы: 9 = 25 Такого не может быть, следовательно, точек пересечения нет, а значит линия пересечения отсутствует.

Итак, длина линии пересечения сферы радиуса 5 и плоскости, удаленной от центра этой сферы на 3, равна 0.

Длина линии пересечения равна 6.