На стороне ВС прямоугольника АВСД отмечена точка К так, что ВК : КС = 3 : 4. Выразить вектор АК, вектор...

Для выражения вектора АК через векторы а = АВ и б = АД, сначала найдем вектор ВК: ВК = (3/7) * а

Теперь можем вычислить вектор АК: АК = АВ - ВК АК = а - (3/7) а АК = (4/7) а

Аналогично, для выражения вектора ДК через векторы а = АВ и б = АД, найдем вектор КС: КС = (4/7) * б

Теперь можем вычислить вектор ДК: ДК = АД - КС ДК = б - (4/7) б ДК = (3/7) б

Итак, вектор АК = (4/7) а, вектор ДК = (3/7) б.

Вектор АК = 3/7 вектор а + 4/7 вектор б Вектор ДК = -3/4 вектор а + 1/4 вектор б

Рассмотрим прямоугольник (ABCD) с вершинами (A), (B), (C) и (D), где (A) находится в начале координат. Пусть ( \mathbf{a} = \overrightarrow{AB} ) и ( \mathbf{b} = \overrightarrow{AD} ). Следовательно, координаты точек можно записать как:

• ( A(0, 0) )
• ( B(a, 0) )
• ( D(0, b) )
• ( C(a, b) )

Теперь рассмотрим сторону ( BC ), на которой находится точка ( K ), такая что ( BK : KC = 3 : 4 ). Это значит, что точка ( K ) делит отрезок ( BC ) в отношении 3:4.

Чтобы найти координаты точки ( K ), используем формулу деления отрезка в заданном отношении. Пусть ( K ) делит ( BC ) в отношении ( m:n ), где ( m = 3 ) и ( n = 4 ).

Формула координат точки деления отрезка в отношении ( m:n ) выглядит так: [ K = \left( \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n} \right) ]

Для отрезка ( BC ):

• ( B(a, 0) )
• ( C(a, b) )

Подставим значения ( x_1 = a ), ( y_1 = 0 ), ( x_2 = a ), ( y_2 = b ), ( m = 3 ) и ( n = 4 ): [ K = \left( \frac{3a + 4a}{3 + 4}, \frac{3 \cdot b + 4 \cdot 0}{3 + 4} \right) = \left( \frac{7a}{7}, \frac{3b}{7} \right) = \left( a, \frac{3b}{7} \right) ]

Итак, координаты точки ( K ) — это ( \left( a, \frac{3b}{7} \right) ).

Теперь выразим векторы ( \overrightarrow{AK} ) и ( \overrightarrow{DK} ) через векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).

Вектор ( \overrightarrow{AK} ): [ \overrightarrow{AK} = K - A = \left( a, \frac{3b}{7} \right) - (0, 0) = \left( a, \frac{3b}{7} \right) ]

Так как ( \mathbf{a} = \overrightarrow{AB} = (a, 0) ) и ( \mathbf{b} = \overrightarrow{AD} = (0, b) ), выразим ( \overrightarrow{AK} ) через ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ): [ \overrightarrow{AK} = a \mathbf{i} + \frac{3b}{7} \mathbf{j} = \mathbf{a} + \frac{3}{7} \mathbf{b} ]

Вектор ( \overrightarrow{DK} ): [ \overrightarrow{DK} = K - D = \left( a, \frac{3b}{7} \right) - (0, b) = \left( a, \frac{3b}{7} - b \right) = \left( a, \frac{3b}{7} - \frac{7b}{7} \right) = \left( a, -\frac{4b}{7} \right) ]

Выразим ( \overrightarrow{DK} ) через ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ): [ \overrightarrow{DK} = a \mathbf{i} - \frac{4b}{7} \mathbf{j} = \mathbf{a} - \frac{4}{7} \mathbf{b} ]

Таким образом, векторы ( \overrightarrow{AK} ) и ( \overrightarrow{DK} ) через векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) выражаются следующим образом: [ \overrightarrow{AK} = \mathbf{a} + \frac{3}{7} \mathbf{b} ] [ \overrightarrow{DK} = \mathbf{a} - \frac{4}{7} \mathbf{b} ]