На стороне BC квадрата ABCD отметили точку К так что АК=2ВК. найдите угол KAD

Угол KAD равен 45 градусов.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами квадрата. Поскольку К находится на стороне BC, то угол KBC равен 90 градусов, так как это угол квадрата.

Также, так как AK = 2BK, то можно заметить, что треугольник AKD подобен треугольнику BKC по стороне и углу при вершине K.

Из подобия треугольников мы можем утверждать, что угол KAD равен углу KBC, то есть 90 градусов.

Давайте подробно разберем задачу.

1. Понимание задачи:

   • У нас есть квадрат (ABCD).
   • На стороне (BC) выбрана точка (K) такая, что (AK = 2 \cdot BK).
   • Нужно найти угол (KAD).

2. Анализ:

   • Пусть сторона квадрата равна (a).
   • Тогда (BC = a).
   • Обозначим (BK = x), следовательно, (CK = a - x).
   • Из условия задачи (AK = 2 \cdot BK), следовательно, (AK = 2x).

3. Координаты точек:

   • Пусть (A = (0, 0)), (B = (a, 0)), (C = (a, a)), (D = (0, a)).
   • Тогда точка (K) на стороне (BC) имеет координаты (K = (a, x)).

4. Нахождение (x):

   • Из условия (AK = 2 \cdot BK).
   • Длина отрезка (AK) по формуле расстояния между точками: [ AK = \sqrt{(a - 0)^2 + (x - 0)^2} = \sqrt{a^2 + x^2} ]
   • (BK = x).
   • Подставляем в условие: [ \sqrt{a^2 + x^2} = 2x ]
   • Возводим обе стороны в квадрат: [ a^2 + x^2 = 4x^2 ]
   • Переносим и упрощаем: [ a^2 = 3x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{a^2}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{a}{\sqrt{3}} ]

5. Поиск угла (KAD):

   • Используем тангенс угла (KAD): [ \tan \angle KAD = \frac{\text{противолежащий катет (высота)} \ DK}{\text{прилежащий катет (ширина)} \ AD} = \frac{a - x}{a} ]
   • Подставляем найденное значение (x): [ \tan \angle KAD = \frac{a - \frac{a}{\sqrt{3}}}{a} = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} ]
   • Упростим: [ \tan \angle KAD = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} ]

6. Заключение:

   • Угол (KAD) можно найти, используя обратную функцию тангенса: [ \angle KAD = \arctan\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}\right) ]

Таким образом, угол (KAD) определяется как арктангенс полученного выражения.