На стороне BA угла ABC отметили точку D и через неё провели прямую параллельную стороне BC . Эта прямая...

Для нахождения углов DBE и BDE нам нужно воспользоваться свойствами параллельных прямых и биссектрисы угла.

Из условия мы знаем, что угол DEB = 35 градусов. Также из свойства параллельных прямых угол ABC = углу DBE (они соответственные). Таким образом, угол DBE = 35 градусов.

Теперь обратимся к свойству биссектрисы угла: она делит угол на два равных угла. Значит, угол ABC = угол ABE = 2угол DBE. Из этого следует, что угол BDE = 2угол DBE = 2*35 = 70 градусов.

Итак, угол DBE = 35 градусов, угол BDE = 70 градусов.

Рассмотрим угол ( \angle ABC ) и обозначим его величину как ( \alpha ). На стороне ( BA ) угла ( \angle ABC ) отметим точку ( D ) и проведём через неё прямую, параллельную стороне ( BC ). Эта прямая пересекает биссектрису угла ( \angle ABC ) в точке ( E ).

Поскольку прямая ( DE ) параллельна стороне ( BC ), то угол ( \angle DEB ) равен углу ( \angle EBC ) (по свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Следовательно, [ \angle DEB = \angle EBC = 35^\circ. ]

Теперь рассмотрим биссектрису угла ( \angle ABC ). Биссектриса делит угол ( \angle ABC ) пополам, то есть: [ \angle ABE = \frac{\alpha}{2} \quad \text{и} \quad \angle EBD = \frac{\alpha}{2}. ]

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна ( 180^\circ ). В треугольнике ( \triangle DBE ) имеем: [ \angle DBE + \angle BDE + \angle DEB = 180^\circ. ]

Подставим известные значения: [ \angle DBE + \angle BDE + 35^\circ = 180^\circ. ]

Теперь найдем угол ( \angle DBE ). В треугольнике ( \triangle DBE ) угол ( \angle DBE ) находится между двумя известными углами: [ \angle DBE = 180^\circ - \angle BDE - 35^\circ. ]

Так как ( \angle DEB = 35^\circ ), и ( \angle EBD = \frac{\alpha}{2} ), то ( \angle BDE ) можно найти следующим образом: [ \angle BDE = 180^\circ - \angle DBE - 35^\circ. ]

Мы также знаем, что ( \angle DBE ) и ( \angle EBD ) в сумме дают ( \alpha ), так как они являются смежными углами вдоль биссектрисы: [ \angle DBE + \angle EBD = \alpha. ]

Подставим ( \angle EBD = \frac{\alpha}{2} ): [ \angle DBE + \frac{\alpha}{2} = \alpha. ]

Решим уравнение относительно ( \angle DBE ): [ \angle DBE = \alpha - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2}. ]

Таким образом: [ \angle DBE = \frac{\alpha}{2}. ]

Теперь вернемся к уравнению для треугольника ( \triangle DBE ): [ \frac{\alpha}{2} + \angle BDE + 35^\circ = 180^\circ. ]

Выразим ( \angle BDE ): [ \angle BDE = 180^\circ - \frac{\alpha}{2} - 35^\circ. ]

Подставим значение ( \angle DEB = 35^\circ ): [ \angle BDE = 145^\circ - \frac{\alpha}{2}. ]

Таким образом, углы ( \angle DBE ) и ( \angle BDE ) в треугольнике ( \triangle DBE ) равны: [ \angle DBE = \frac{\alpha}{2}, ] [ \angle BDE = 145^\circ - \frac{\alpha}{2}. ]

Если ( \alpha ) не задано, то это будет общий вид решения.

Угол DBE = 35 градусов, угол BDE = 55 градусов.