На стороне АС треугольника АВС отметили точку Е так , что АЕ:СЕ=2:7. Через точку Е провели прямую , которая параллельна стороне АВ треугольника и пересекает сторону ВС в точке F . Найдите сторону АВ, если ЕF =21 см
На стороне АС треугольника АВС отметили точку Е так , что АЕ:СЕ=2:7. Через точку Е провели прямую , которая параллельна стороне АВ треугольника и пересекает сторону ВС в точке F . Найдите сторону АВ, если ЕF =21 см
Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллельности сторон и теоремой Фалеса, а также свойством отношения отрезков на сторонах треугольника.
Построение и анализ: Поскольку EF параллельна AB и проходит через точку E, то по теореме Фалеса отрезок EF на стороне BC делится в том же отношении, в котором точка E делит сторону AC. То есть, если AE:EC = 2:7, то BF:FC тоже будет 2:7.
Подсчёт BF и FC: Поскольку EF = 21 см и делит отрезок BC в отношении 2:7, можно найти длины BF и FC. Пусть BC = x, тогда:
[ BF = \frac{2}{9}x, ] [ FC = \frac{7}{9}x. ]
Тогда: [ EF = FC - BF = \frac{7}{9}x - \frac{2}{9}x = \frac{5}{9}x. ]
Зная, что EF = 21 см, получаем: [ \frac{5}{9}x = 21. ] [ x = \frac{21 \cdot 9}{5} = 37.8 \text{ см}. ]
Соотношение сторон в подобных треугольниках: Треугольники ABE и EFC подобны (по двум углам: угол ABE равен углу EFC как соответственные при параллельных прямых EF и AB и секущей BC; угол AEB равен углу FEC как вертикальные). Отношение их сторон равно отношению соответствующих отрезков, на которые точка E делит AC, то есть AE:EC = 2:7.
Нахождение AB: Поскольку треугольники ABE и EFC подобны с коэффициентом подобия 2:7, сторона AB будет больше стороны EF в 9/2 раза (сумма отношений 2 и 7, так как EF образовано из всей стороны BC). Тогда:
[ AB = \frac{9}{2} \cdot 21 = 94.5 \text{ см}. ]
Таким образом, длина стороны AB треугольника ABC составляет 94.5 см.
Для решения данной задачи воспользуемся пропорциональностью сторон треугольников, образованных параллельными прямыми.
Из условия известно, что АЕ:СЕ=2:7. Пусть длина стороны АВ равна х. Тогда длина стороны СЕ равна 7x, а длина стороны АЕ равна 2x.
Так как прямая EF параллельна стороне АВ, то по теореме Талеса отношение длин сторон треугольников АЕF и АВС будет такое же. То есть, АЕ:АВ=СЕ:СВ=EF:FC.
Подставляем известные значения: 2x:х=7x:х=21:FC. Упрощаем пропорцию и получаем: 2:1=7:х=21:FC.
Отсюда получаем, что х=10,5 см. Таким образом, сторона АВ треугольника равна 10,5 см.
