На стороне АД параллелограмма АВСД взята точка К, так что АВ = АК. Докажите, что ВК – биссектриса угла АВС. Найдите периметр параллелограмма АВСД, если АВ = 12 см, КД = 7 см.
На стороне АД параллелограмма АВСД взята точка К, так что АВ = АК. Докажите, что ВК – биссектриса угла АВС. Найдите периметр параллелограмма АВСД, если АВ = 12 см, КД = 7 см.
Давайте разберем задачу по шагам.
Доказательство того, что ВК является биссектрисой угла АВС:
У нас есть параллелограмм ABCD, и точка K на стороне AD такова, что AK = AB. Нам нужно доказать, что BK — это биссектриса угла ABC.
Поскольку AK = AB и стороны AB и AD параллелограмма, то треугольники ABK и ABV (где V — точка пересечения продолжений AD и BC) равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними равны). Это значит, что углы BAK и ABV равны.
Далее, поскольку ABCD — параллелограмм, углы ABC и BVA равны, так как это соответственные углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BC.
Таким образом, углы ABC и ABK равны, и BK делит угол ABC на два равных угла, что и означает, что BK — биссектриса угла ABC.
Нахождение периметра параллелограмма ABCD:
Мы знаем, что AB = AK = 12 см и KD = 7 см.
Рассмотрим сторону AD параллелограмма. Поскольку K лежит на AD и AK + KD = AD, можно найти AD:
[ AD = AK + KD = 12 + 7 = 19 \text{ см} ]
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому BC = AD и CD = AB.
Таким образом, стороны нашего параллелограмма следующие:
Теперь можем найти периметр параллелограмма, складывая длины всех его сторон:
[ \text{Периметр} = AB + BC + CD + DA = 12 + 19 + 12 + 19 = 62 \text{ см} ]
Итак, периметр параллелограмма ABCD равен 62 см.
Для доказательства того, что ВК – биссектриса угла АВС, рассмотрим треугольники АВК и ВКД. Поскольку АВ = АК, то угол АВК равен углу АКВ. Также, по условию, угол КДВ равен углу ВКД. Таким образом, углы АВК и ВКД равны, что и означает, что ВК – биссектриса угла АВС.
Чтобы найти периметр параллелограмма АВСД, нам нужно найти длины всех его сторон. Поскольку АВ = 12 см, то и АК = 12 см. Также, учитывая, что КД = 7 см, то ВД = 7 см. Таким образом, периметр параллелограмма АВСД равен 2*(12+7) = 38 см.
Для того чтобы доказать, что ВК – биссектриса угла АВС, нужно показать, что треугольники АВК и ВКД равнобедренные. Из условия задачи, АВ = АК, следовательно, треугольник АВК равнобедренный, а значит, угол ВАК равен углу КАВ. Также из условия, что КД = ВД, следует, что треугольник ВКД равнобедренный, и угол ВКД равен углу ВДК. Так как угол ВАК равен углу ВДК, то ВК действительно является биссектрисой угла АВС.
Периметр параллелограмма АВСД равен 2(АВ + КД) = 2(12 + 7) = 38 см.
