На стороне AB и диагонали BD параллелограмма ABCD лежат точки N и M так, что AN/NB=3/2, BM/MD=5/2. Выразите...

Для того чтобы выразить вектор ( \mathbf{MN} ) через векторы ( \mathbf{x} ) и ( \mathbf{y} ), начнем с анализа положения точек ( N ) и ( M ) на параллелограмме ( ABCD ).

1. Положение точки ( N ) на стороне ( AB ): Точка ( N ) делит сторону ( AB ) в отношении ( 3:2 ). Это означает, что ( N ) находится ближе к ( B ). Вектор ( \mathbf{AN} ) можно выразить как: [ \mathbf{AN} = \frac{3}{3+2} \mathbf{AB} = \frac{3}{5} \mathbf{AB} ] Вектор ( \mathbf{AB} ) можно выразить через векторы ( \mathbf{x} ) и ( \mathbf{y} ): [ \mathbf{AB} = \mathbf{AD} + \mathbf{DB} = -\mathbf{y} + \mathbf{x} ] Следовательно, вектор ( \mathbf{AN} ) будет: [ \mathbf{AN} = \frac{3}{5} (\mathbf{x} - \mathbf{y}) ]

2. Положение точки ( M ) на диагонали ( BD ): Точка ( M ) делит диагональ ( BD ) в отношении ( 5:2 ). Это означает, что ( M ) находится ближе к ( B ). Вектор ( \mathbf{BM} ) можно выразить как: [ \mathbf{BM} = \frac{5}{5+2} \mathbf{BD} = \frac{5}{7} \mathbf{BD} ] Вектор ( \mathbf{BD} ) можно выразить через векторы ( \mathbf{x} ) и ( \mathbf{y} ): [ \mathbf{BD} = \mathbf{BA} + \mathbf{AD} = -\mathbf{x} + \mathbf{y} ] Следовательно, вектор ( \mathbf{BM} ) будет: [ \mathbf{BM} = \frac{5}{7} (\mathbf{y} - \mathbf{x}) ]

Теперь нам нужно найти вектор ( \mathbf{MN} ). Начнем с того, что выразим координаты точек ( N ) и ( M ) в терминах векторов ( \mathbf{x} ) и ( \mathbf{y} ):

• Координаты точки ( N ) относительно ( A ): [ \mathbf{N} = \mathbf{A} + \mathbf{AN} = \mathbf{A} + \frac{3}{5} (\mathbf{x} - \mathbf{y}) ]

• Координаты точки ( M ) относительно ( B ): [ \mathbf{M} = \mathbf{B} + \mathbf{BM} = \mathbf{B} + \frac{5}{7} (\mathbf{y} - \mathbf{x}) ]

Теперь выразим координаты точек ( N ) и ( M ) относительно одной точки, например ( A ):

• Координата точки ( B ) относительно ( A ): [ \mathbf{B} = \mathbf{A} + \mathbf{AB} = \mathbf{A} + (\mathbf{x} - \mathbf{y}) ]

• Координаты точки ( M ) относительно ( A ): [ \mathbf{M} = \mathbf{A} + (\mathbf{x} - \mathbf{y}) + \frac{5}{7} (\mathbf{y} - \mathbf{x}) = \mathbf{A} + \left(1 - \frac{5}{7}\right) \mathbf{x} + \left(-1 + \frac{5}{7}\right) \mathbf{y} ] [ \mathbf{M} = \mathbf{A} + \frac{2}{7} \mathbf{x} - \frac{2}{7} \mathbf{y} ]

Теперь найдем вектор ( \mathbf{MN} ): [ \mathbf{MN} = \mathbf{N} - \mathbf{M} = \left(\mathbf{A} + \frac{3}{5} (\mathbf{x} - \mathbf{y})\right) - \left(\mathbf{A} + \frac{2}{7} (\mathbf{x} - \mathbf{y})\right) ] [ \mathbf{MN} = \frac{3}{5} (\mathbf{x} - \mathbf{y}) - \frac{2}{7} (\mathbf{x} - \mathbf{y}) ] [ \mathbf{MN} = \left(\frac{21}{35} - \frac{10}{35}\right) (\mathbf{x} - \mathbf{y}) ] [ \mathbf{MN} = \frac{11}{35} (\mathbf{x} - \mathbf{y}) ]

Таким образом, вектор ( \mathbf{MN} ) выражается через векторы ( \mathbf{x} ) и ( \mathbf{y} ) следующим образом: [ \mathbf{MN} = \frac{11}{35} (\mathbf{x} - \mathbf{y}) ]

Для начала найдем векторы AN и BM. Пусть вектор CB=x, вектор CD=y.

Так как AN/NB=3/2, то вектор AN = (3/5)AB, а вектор NB = (2/5)AB. Также, вектор NB = BC = x, значит вектор AN = (3/5)AB = (3/5)(AB-BC) = (3/5)*(AB-x).

Аналогично, вектор BM = (5/7)BD, а вектор MD = (2/7)BD. Также, вектор MD = CD = y, значит вектор BM = (5/7)BD = (5/7)(BD-CD) = (5/7)*(BD-y).

Теперь найдем вектор MN. Вектор MN = v = AM - AN = AM - (3/5)(AB-x). Также, вектор AM = AB + BM = AB + (5/7)(BD-y).

Подставим выражения для векторов AM и AN в выражение для вектора MN: v = AB + (5/7)(BD-y) - (3/5)(AB-x) = AB + (5/7)BD - (5/7)y - (3/5)AB + (3/5)x = (2/5)AB + (5/7)BD - (5/7)y + (3/5)x.

Таким образом, вектор MN выражается через векторы x=CB и y=CD следующим образом: v = (2/5)AB + (5/7)BD - (5/7)y + (3/5)x.