На сторонах АВ,ВС,СD и АD квадрата АBCD отмечены соответственно точки P,M,E и K так,что АР=ВМ=СЕ=DE=3...

Чтобы найти периметр четырёхугольника PMEK, начнем с анализа расположения точек P, M, E и K на сторонах квадрата ABCD и использования данных, которые нам даны.

1. Обозначения и длины сторон:

   • Пусть длина стороны квадрата ABCD равна a.
   • Точки P, M, E и K расположены на сторонах AB, BC, CD и AD соответственно, так что AP = BM = CE = DK = 3 см.

2. Координаты точек: Рассмотрим квадрат ABCD в координатной плоскости:

   • A (0, 0)
   • B (a, 0)
   • C (a, a)
   • D (0, a)

   Тогда координаты точек P, M, E и K будут:

   • P (3, 0) (на стороне AB)
   • M (a, 3) (на стороне BC)
   • E (a - 3, a) (на стороне CD)
   • K (0, a - 3) (на стороне AD)

3. Расчет длин сторон четырёхугольника PMEK:

   Чтобы найти периметр четырёхугольника PMEK, нужно рассчитать длины его сторон PM, ME, EK и KP.

   • Длина PM:

     • P (3, 0)
     • M (a, 3) [ PM = \sqrt{(a - 3)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(a - 3)^2 + 9} ]

   • Длина ME:

     • M (a, 3)
     • E (a - 3, a) [ ME = \sqrt{(a - (a - 3))^2 + (a - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (a - 3 - 3)^2} = \sqrt{9 + (a - 6)^2} ]

   • Длина EK:

     • E (a - 3, a)
     • K (0, a - 3) [ EK = \sqrt{(a - 3 - 0)^2 + (a - (a - 3))^2} = \sqrt{(a - 3)^2 + 3^2} = \sqrt{(a - 3)^2 + 9} ]

   • Длина KP:

     • K (0, a - 3)
     • P (3, 0) [ KP = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - (a - 3))^2} = \sqrt{9 + (3 - a)^2} ]

4. Угол ARK:

   • Угол ARK = 60 градусов.
   • Это дополнительное условие может быть использовано для проверки правильности расположения точек, но для расчета периметра оно непосредственно не требуется.

5. Сумма длин сторон: Теперь, чтобы найти периметр, суммируем все длины: [ \text{Периметр} = PM + ME + EK + KP ] Подставляя все длины, получаем: [ \text{Периметр} = \sqrt{(a - 3)^2 + 9} + \sqrt{9 + (a - 6)^2} + \sqrt{(a - 3)^2 + 9} + \sqrt{9 + (3 - a)^2} ]

6. Упрощение: Мы видим, что корни похожи, и это сильно зависит от длины стороны квадрата a. Если значение a нам не дано, то мы предполагаем, что a достаточно велико, чтобы все корни были действительными и положительными.

В итоге, без конкретной величины стороны квадрата a, точные численные значения нельзя получить. Но формула для периметра четырёхугольника PMEK будет выглядеть как сумма указанных корней.

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства квадрата и треугольника.

Итак, так как в квадрате все стороны равны, то AM = AB = 3 см. Также, у нас есть треугольник ARK, в котором AR = RK = 3 см и угол ARK = 60 градусов. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, то угол RAK = (180 - 60) / 2 = 60 градусов.

Теперь мы видим, что треугольник RAK является равносторонним треугольником, так как все его стороны равны 3 см. Значит, RK = AK = 3 см.

Теперь мы можем вычислить периметр четырёхугольника PMEK: PM + ME + EK + KP = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 см.

Итак, периметр четырёхугольника PMEK равен 12 см.

Периметр четырёхугольника PMEK равен 12 см.