На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD отмечены точки M и N так,что AM=MB,AN:ND=3:4.Выразите вектора...

Для начала обозначим векторы: х = CB, y = CD.

Так как AM = MB, то вектор AM = v, где v - это половина вектора х: v = х / 2.

Теперь найдем вектор CM. Вектор CM равен вектору AM, увеличенному на вектор MN. Так как AM = v, то CM = AM + MN = v + MN.

Также из условия AN : ND = 3 : 4 следует, что вектор AN = 3y / 7 и вектор ND = 4y / 7.

Теперь найдем вектор CN. Вектор CN равен вектору AN, увеличенному на вектор MN: CN = AN + MN = 3y / 7 + MN.

Наконец, найдем вектор MN. Вектор MN равен разности векторов CM и CN: MN = CM - CN = (v + MN) - (3y / 7 + MN).

Теперь выразим вектор MN через векторы х и у: MN = v + MN - 3y / 7 - MN MN = v - 3y / 7.

Таким образом, мы выразили вектора CM, CN и MN через векторы х и у: CM = v + MN, CN = 3y / 7 + MN, MN = v - 3y / 7.

Для решения этой задачи нам нужно выразить векторы ( \vec{CM} ), ( \vec{CN} ), ( \vec{MN} ) через векторы ( \vec{x} = \vec{CB} ) и ( \vec{y} = \vec{CD} ).

1. Вектор ( \vec{CM} ): Так как ( AM = MB ), точка ( M ) делит сторону ( AB ) пополам. Следовательно, вектор ( \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB} ). Вектор ( \vec{AB} ) можно выразить через ( \vec{x} ) и ( \vec{y} ), учитывая, что векторы ( \vec{AB} = \vec{DC} = -\vec{x} ) (по свойству параллелограмма). Таким образом, получаем: [ \vec{AM} = \frac{1}{2} (-\vec{x}) = -\frac{1}{2} \vec{x}. ] Теперь, чтобы найти ( \vec{CM} ), мы можем выразить его как ( \vec{CM} = \vec{CA} + \vec{AM} ). Так как ( \vec{CA} = \vec{DB} = \vec{x} ) (опять же по свойству параллелограмма), то: [ \vec{CM} = \vec{x} - \frac{1}{2} \vec{x} = \frac{1}{2} \vec{x}. ]

2. Вектор ( \vec{CN} ): Для ( \vec{CN} ) учитываем, что ( AN:ND = 3:4 ). Это значит, что точка ( N ) делит сторону ( AD ) в отношении 3 к 4, считая от ( A ) к ( D ). Таким образом, ( \vec{AN} = \frac{3}{7} \vec{AD} ) и ( \vec{AD} = \vec{y} ). Тогда: [ \vec{AN} = \frac{3}{7} \vec{y}. ] Следовательно, ( \vec{CN} ) равен ( \vec{CA} + \vec{AN} ) или: [ \vec{CN} = \vec{x} + \frac{3}{7} \vec{y}. ]

3. Вектор ( \vec{MN} ): Наконец, для вектора ( \vec{MN} ) используем: [ \vec{MN} = \vec{CN} - \vec{CM} = \left(\vec{x} + \frac{3}{7} \vec{y}\right) - \frac{1}{2} \vec{x} = \frac{1}{2} \vec{x} + \frac{3}{7} \vec{y}. ]

Таким образом, мы выразили векторы ( \vec{CM} ), ( \vec{CN} ), ( \vec{MN} ) через векторы ( \vec{x} ) и ( \vec{y} ):

• ( \vec{CM} = \frac{1}{2} \vec{x} ),
• ( \vec{CN} = \vec{x} + \frac{3}{7} \vec{y} ),
• ( \vec{MN} = \frac{1}{2} \vec{x} + \frac{3}{7} \vec{y} ).

Вектор CM = x - AM = x - (1/2)CB Вектор CN = y - AN = y - (3/7)CD Вектор MN = CN - CM = (3/7)CD - (1/2)CB