На серединном перпендикуляре стороны АВ треугольника АВС отмечена такая точка О , что угол ОАС = углу...

Для доказательства, что точка О является центром описанной окружности треугольника АВС, нужно рассмотреть следующие утверждения:

1. Точка О лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ. Это означает, что отрезки ОА и ОВ равны между собой, где V - середина стороны АС.

2. Углы ОАС и ОСА равны между собой. Это следует из того, что точка О лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ.

3. Рассмотрим треугольники ОАС и ОСА. У них равны два угла и одна сторона (сторона ОС), следовательно, по признаку равенства треугольников эти треугольники равны.

4. Таким образом, сторона ОА равна стороне ОС, что означает, что точка О находится на радиусе окружности, проходящем через точки А и С.

5. Аналогично можно доказать, что точка О также лежит на радиусе, проходящем через точки В и С.

Из пунктов 4 и 5 следует, что точка О является центром окружности, описанной около треугольника АВС.

Давайте рассмотрим треугольник ( \triangle ABC ) и серединный перпендикуляр к стороне ( AB ), на котором отмечена точка ( O ). Нам дано, что ( \angle OAC = \angle OCA ). Необходимо доказать, что точка ( O ) является центром окружности, описанной около треугольника ( \triangle ABC ).

1. Свойства серединного перпендикуляра: Серединный перпендикуляр к отрезку ( AB ) — это множество всех точек, равноудаленных от ( A ) и ( B ). Следовательно, точка ( O ) равноудалена от ( A ) и ( B ), что означает ( OA = OB ).

2. Условия задачи: Нам известно, что ( \angle OAC = \angle OCA ). Это указывает на то, что треугольник ( \triangle OAC ) равнобедренный с основаниями ( AC ) и вершиной ( O ), что означает ( OA = OC ).

3. Равенство отрезков: Из предыдущих пунктов мы имеем, что: [ OA = OB \quad \text{и} \quad OA = OC. ] Следовательно, ( OB = OC ).

4. Вывод о центре окружности: Получилось, что точка ( O ) равноудалена от всех трех вершин треугольника ( A ), ( B ) и ( C ) (( OA = OB = OC )). Это свойство и определяет центр описанной окружности.

Таким образом, точка ( O ) действительно является центром окружности, описанной около треугольника ( \triangle ABC ), так как она равноудалена от всех его вершин.