На ребре куба АВСDА1В1С1D1 взята точка К так, что BK:KB1=3:1. Найти угол между прямыми AK и BD1

Рассмотрим задачу и пошагово найдем угол между прямыми ( AK ) и ( BD_1 ).

1. Введение

Куб — это правильный многогранник, все рёбра которого равны, а грани представляют собой квадраты. Назовем длину ребра куба ( a ). Куб задан в пространстве с вершинами ( A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1 ), где нижняя грань — ( ABCD ), а верхняя — ( A_1B_1C_1D_1 ). Прямые ( AK ) и ( BD_1 ) принадлежат трёммерному пространству, и мы будем искать угол между ними, используя векторный формализм.

2. Координаты точек

Для удобства введём координатную систему. Пусть вершины куба имеют следующие координаты:

• ( A(0, 0, 0) ),
• ( B(a, 0, 0) ),
• ( C(a, a, 0) ),
• ( D(0, a, 0) ),
• ( A_1(0, 0, a) ),
• ( B_1(a, 0, a) ),
• ( C_1(a, a, a) ),
• ( D_1(0, a, a) ).

Точка ( K ):

На ребре ( BB_1 ) выбрана точка ( K ), причём ( BK : KB_1 = 3 : 1 ). Это означает, что точка ( K ) делит отрезок ( BB_1 ) в отношении ( 3:1 ). Используем формулу деления отрезка в заданном отношении: [ K = \frac{1 \cdot B + 3 \cdot B_1}{3 + 1}. ] Подставим координаты точек ( B(a, 0, 0) ) и ( B_1(a, 0, a) ): [ K = \frac{1 \cdot (a, 0, 0) + 3 \cdot (a, 0, a)}{4} = \left(a, 0, \frac{3a}{4}\right). ]

3. Векторное представление прямых

Теперь найдём направляющие векторы прямых ( AK ) и ( BD_1 ).

Вектор ( \overrightarrow{AK} ):

Вектор ( \overrightarrow{AK} ) определяется координатами точек ( A(0, 0, 0) ) и ( K(a, 0, \frac{3a}{4}) ): [ \overrightarrow{AK} = K - A = (a - 0, 0 - 0, \frac{3a}{4} - 0) = \left(a, 0, \frac{3a}{4}\right). ]

Вектор ( \overrightarrow{BD_1} ):

Вектор ( \overrightarrow{BD_1} ) определяется координатами точек ( B(a, 0, 0) ) и ( D_1(0, a, a) ): [ \overrightarrow{BD_1} = D_1 - B = (0 - a, a - 0, a - 0) = \left(-a, a, a\right). ]

4. Угол между прямыми

Угол между прямыми ( AK ) и ( BD_1 ) определяется через скалярное произведение их направляющих векторов. Формула для косинуса угла: [ \cos\theta = \frac{\overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{BD_1}}{|\overrightarrow{AK}| \cdot |\overrightarrow{BD_1}|}. ]

Скалярное произведение ( \overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{BD_1} ):

[ \overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{BD_1} = (a)(-a) + (0)(a) + \left(\frac{3a}{4}\right)(a) = -a^2 + 0 + \frac{3a^2}{4} = -a^2 + \frac{3a^2}{4} = -\frac{4a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = -\frac{a^2}{4}. ]

Длины векторов ( |\overrightarrow{AK}| ) и ( |\overrightarrow{BD_1}| ):

[ |\overrightarrow{AK}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + \left(\frac{3a}{4}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{9a^2}{16}} = \sqrt{\frac{16a^2}{16} + \frac{9a^2}{16}} = \sqrt{\frac{25a^2}{16}} = \frac{5a}{4}. ] [ |\overrightarrow{BD_1}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}. ]

Косинус угла:

[ \cos\theta = \frac{\overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{BD_1}}{|\overrightarrow{AK}| \cdot |\overrightarrow{BD_1}|} = \frac{-\frac{a^2}{4}}{\frac{5a}{4} \cdot a\sqrt{3}} = \frac{-\frac{a^2}{4}}{\frac{5a^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{-1}{5\sqrt{3}}. ]

Угол ( \theta ):

[ \theta = \arccos\left(-\frac{1}{5\sqrt{3}}\right). ]

5. Ответ

Угол между прямыми ( AK ) и ( BD_1 ) равен: [ \theta = \arccos\left(-\frac{1}{5\sqrt{3}}\right). ]

Для решения задачи начнем с того, что обозначим координаты вершин куба. Пусть куб имеет длину ребра ( a ). Тогда координаты вершин куба можно задать следующим образом:

• ( A(0, 0, 0) )
• ( B(a, 0, 0) )
• ( C(a, a, 0) )
• ( D(0, a, 0) )
• ( A_1(0, 0, a) )
• ( B_1(a, 0, a) )
• ( C_1(a, a, a) )
• ( D_1(0, a, a) )

Теперь найдем координаты точки ( K ) на ребре ( AB_1 ). Ребро ( AB_1 ) соединяет точки ( B(a, 0, 0) ) и ( B_1(a, 0, a) ). Параметрическое уравнение прямой ( AB_1 ) можно задать следующим образом:

[ K(t) = (a, 0, t), \quad t \in [0, a]. ]

Поскольку нам известно соотношение ( BK:KB_1 = 3:1 ), это означает, что точка ( K ) делит отрезок ( BB_1 ) в указанном отношении. Обозначим длину отрезка ( BB_1 ) как ( a ). Следовательно, ( BK = \frac{3}{4}a ) и ( KB_1 = \frac{1}{4}a ).

Таким образом, координаты точки ( K ) можно найти следующим образом:

[ K = B + \frac{3}{4}(B_1 - B) = (a, 0, 0) + \frac{3}{4} \left( (a, 0, a) - (a, 0, 0) \right) = (a, 0, \frac{3}{4}a). ]

Теперь мы имеем координаты точки ( K(a, 0, \frac{3}{4}a) ).

Следующим этапом будет нахождение направляющих векторов для прямых ( AK ) и ( BD_1 ).

1. Вектор ( \overrightarrow{AK} ): [ \overrightarrow{AK} = K - A = (a, 0, \frac{3}{4}a) - (0, 0, 0) = (a, 0, \frac{3}{4}a). ]

2. Вектор ( \overrightarrow{BD_1} ): [ \overrightarrow{BD_1} = D_1 - B = (0, a, a) - (a, 0, 0) = (-a, a, a). ]

Теперь найдем угол между этими двумя векторами. Угол ( \theta ) между векторами ( \mathbf{u} ) и ( \mathbf{v} ) можно найти с использованием скалярного произведения:

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| |\mathbf{v}|}. ]

Сначала найдем скалярное произведение ( \overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{BD_1} ):

[ \overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{BD_1} = (a, 0, \frac{3}{4}a) \cdot (-a, a, a) = a(-a) + 0 \cdot a + \frac{3}{4}a \cdot a = -a^2 + \frac{3}{4}a^2 = -\frac{1}{4}a^2. ]

Теперь найдем длины векторов ( |\overrightarrow{AK}| ) и ( |\overrightarrow{BD_1}| ):

[ |\overrightarrow{AK}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + \left(\frac{3}{4}a\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{9}{16}a^2} = \sqrt{\frac{25}{16}a^2} = \frac{5}{4}a, ]

[ |\overrightarrow{BD_1}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}. ]

Теперь подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла:

[ \cos \theta = \frac{-\frac{1}{4}a^2}{\left(\frac{5}{4}a\right)(a\sqrt{3})} = \frac{-\frac{1}{4}a^2}{\frac{5}{4} a^2 \sqrt{3}} = \frac{-1}{5\sqrt{3}}. ]

Теперь можем найти угол ( \theta ):

[ \theta = \arccos\left(\frac{-1}{5\sqrt{3}}\right). ]

Таким образом, угол между прямыми ( AK ) и ( BD_1 ) равен ( \theta = \arccos\left(\frac{-1}{5\sqrt{3}}\right) ).