На расстоянии 2 корень из 7 см от центра шара проведено сечение.Хорда этого сечения,равная 4см стягивает угол 90 градусов.Найти объем шара и площадь его поверхности
На расстоянии 2 корень из 7 см от центра шара проведено сечение.Хорда этого сечения,равная 4см стягивает угол 90 градусов.Найти объем шара и площадь его поверхности
Для решения задачи воспользуемся свойствами геометрических фигур и теоремой Пифагора.
Построение и анализ: Рассмотрим шар радиуса ( R ). Сечение, проведенное на расстоянии ( 2\sqrt{7} ) см от центра шара, образует круг меньшего радиуса, который является основанием цилиндра, вписанного в шар. Хорда, стягивающая угол в 90 градусов, является диаметром этого меньшего круга.
Найдем радиус меньшего круга ( r ): Поскольку хорда равна 4 см и является диаметром меньшего круга, то радиус меньшего круга ( r = \frac{4}{2} = 2 ) см.
Использование теоремы Пифагора: Представим центр шара ( O ), центр меньшего круга ( O' ) и точку на круге ( A ) так, что ( OA ) - радиус шара, ( O'A ) - радиус меньшего круга, и ( OO' ) - расстояние от центра шара до сечения.
По теореме Пифагора для треугольника ( OOA' ): [ R^2 = OO'^2 + O'A^2 ] Подставляя известные значения: [ R^2 = (2\sqrt{7})^2 + 2^2 = 28 + 4 = 32 ] Отсюда ( R = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} ) см.
Объем и площадь поверхности шара: Формула объема шара: [ V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (4\sqrt{2})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 128\sqrt{2} = \frac{512\sqrt{2}\pi}{3} \text{ см}^3 ] Формула площади поверхности шара: [ S = 4 \pi R^2 = 4 \pi (4\sqrt{2})^2 = 4 \pi \cdot 32 = 128 \pi \text{ см}^2 ]
Таким образом, объем шара составляет ( \frac{512\sqrt{2}\pi}{3} ) кубических сантиметров, а площадь его поверхности — ( 128\pi ) квадратных сантиметров.
Для решения данной задачи нам необходимо использовать геометрические свойства шара и теорему Пифагора.
По условию задачи, мы имеем сферу с центром в точке O и радиусом r. Проведем хорду AB, которая находится на расстоянии 2√7 см от центра шара и делит его на две равные части.
Так как хорда AB стягивает угол 90 градусов, то она является диаметром сферы. Из этого следует, что r = 2 см (половина длины хорды).
Теперь можем вычислить объем шара по формуле V = (4/3)πr^3. Подставив значение радиуса r = 2 см, получаем V = (4/3)π(2)^3 = 32π см^3.
Чтобы найти площадь поверхности шара, воспользуемся формулой S = 4πr^2. Подставив значение радиуса r = 2 см, получаем S = 4π(2)^2 = 16π см^2.
Таким образом, объем шара равен 32π см^3, а площадь его поверхности равна 16π см^2.
