На диагонали AC параллелограмма ABCD отложены равные отрезки AE и CK. Докажите,что четырёхугольник BEDK-параллелограмм

Для доказательства того, что четырёхугольник BEDK является параллелограммом, рассмотрим параллелограмм ABCD и обозначим его диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке O.

По условию, на диагонали AC отложены равные отрезки AE и CK, т.е. AE = CK.

Рассмотрим треугольники AEO и CKO. Поскольку точки E и K лежат на диагонали AC, которая является общей для обоих треугольников, AE = CK, и O – это точка пересечения диагоналей, то:

1. Равенство отрезков AE и CK: AE = CK (по условию).

2. Совпадение вершин O: O – это общая вершина для треугольников AEO и CKO.

3. Равенство углов: Углы AEO и CKO равны, так как диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника (AOE ≅ COE).

Используя теорему о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними, заключаем, что треугольники AEO и CKO равны: AEO ≅ CKO.

Следовательно, BE = DK, так как в равных треугольниках соответствующие стороны равны.

Теперь рассмотрим четырёхугольник BEDK. Необходимо проверить, что противоположные стороны этого четырёхугольника попарно равны и параллельны:

1. Равенство сторон: BE = DK (доказано выше).

2. Параллельность сторон: Так как ABCD – параллелограмм, то AB || CD и AD || BC. Таким образом, углы при вершинах B и D равны, а также углы при вершинах E и K равны (поскольку углы при пересечении параллельных прямых и секущей равны). Следовательно, BE || DK.

3. Равенство и параллельность других сторон: Рассмотрим стороны ED и BK. Поскольку E и K лежат на диагонали AC, которая делит параллелограмм на два равных треугольника, и учитывая, что диагонали параллелограмма делят его углы пополам, углы BED и BDK равны. Поскольку диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то ED = BK и ED || BK.

Из вышеизложенного следует, что противоположные стороны четырёхугольника BEDK равны и параллельны.

Следовательно, четырёхугольник BEDK является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырёхугольник BEDK является параллелограммом, рассмотрим следующие факты:

1. Поскольку AE и CK равны и параллельны диагонали AC, то углы AEC и CKD также равны друг другу (по теореме о параллельных линиях и углах).

2. Учитывая, что противоположные углы параллелограмма равны, мы можем заключить, что углы AEC и CKD также равны углам BDE и DKC соответственно.

3. Таким образом, у нас получается, что углы BDE и DKC равны друг другу, что является одним из свойств параллелограмма.

Итак, мы доказали, что у четырёхугольника BEDK противоположные углы равны, что делает его параллелограммом.