Медиана проведенная к основанию равнобедренного треугольника равна 12 см а боковая сторона равна 13 см. Найдите периметр и площадь этого треугольника.
Медиана проведенная к основанию равнобедренного треугольника равна 12 см а боковая сторона равна 13 см. Найдите периметр и площадь этого треугольника.
Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства равнобедренного треугольника.
Мы знаем, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два равных по площади треугольника. Поэтому мы можем построить высоту, проведенную из вершины треугольника к основанию, которая будет равна 12 см.
Таким образом, мы получаем два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты 6 см (половина медианы) и 13 см (боковая сторона).
Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину основания равнобедренного треугольника:
( a^2 = 13^2 - 6^2 ), ( a^2 = 169 - 36 ), ( a^2 = 133 ), ( a = \sqrt{133} ).
Теперь мы можем найти периметр треугольника, сложив длины всех его сторон:
( P = 13 + 2 \times \sqrt{133} ), ( P ≈ 13 + 2 \times 11.53 ≈ 36.06 ).
Для нахождения площади равнобедренного треугольника используем формулу ( S = \frac{1}{2} \times a \times h ), где a - основание, h - высота:
( S = \frac{1}{2} \times \sqrt{133} \times 12 ), ( S ≈ 6 \times 12 ≈ 72 ).
Таким образом, периметр равнобедренного треугольника равен примерно 36.06 см, а площадь равна примерно 72 квадратным сантиметрам.
Для решения этой задачи начнем с анализа данных, которые у нас уже есть: медиана к основанию равнобедренного треугольника равна 12 см, а каждая боковая сторона равна 13 см.
Свойства медианы в равнобедренном треугольнике: Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, также является высотой и биссектрисой. Она делит основание на две равные части и перпендикулярна ему.
Поиск длины основания: Обозначим половину основания как (x). Тогда полное основание равно (2x). Так как медиана равна 12 см и является высотой, она образует прямоугольный треугольник с половиной основания (x) и боковой стороной 13 см. Используя теорему Пифагора, получаем: [ x^2 + 12^2 = 13^2 \ x^2 + 144 = 169 \ x^2 = 25 \ x = 5 \text{ см} ] Следовательно, полное основание равно (2 \times 5 = 10) см.
Периметр треугольника: Периметр (P) треугольника равен сумме всех его сторон. [ P = 13 + 13 + 10 = 36 \text{ см} ]
Площадь треугольника: Площадь (S) можно найти, используя формулу для площади треугольника через основание и высоту: [ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \ S = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60 \text{ см}^2 ]
Итак, периметр данного равнобедренного треугольника равен 36 см, а площадь — 60 см².
