M, N, K – середины сторон АВ, ВС и АС треугольника АВС. (АМ) ⃗ = а ⃗, (АК) ⃗ = b ⃗. Выразите векторы (AN,) ⃗...

Для выражения векторов (AN,) ⃗, (BC) ⃗, (ВК) ⃗ через векторы а ⃗ и b ⃗, нужно воспользоваться свойствами середин треугольника.

1. Вектор AN ⃗: AN ⃗ = AM ⃗ + MN ⃗ = AM ⃗ + (1/2) (AB ⃗ + BC ⃗) = AM ⃗ + (1/2) (a ⃗ + b ⃗) = a ⃗ + (1/2) (a ⃗ + b ⃗) = (3/2) a ⃗ + (1/2) * b ⃗

2. Вектор BC ⃗: BC ⃗ = BN ⃗ + NC ⃗ = BN ⃗ + (1/2) (BC ⃗ + CA ⃗) = BN ⃗ + (1/2) (b ⃗ + (-a ⃗)) = BN ⃗ + (1/2) (b ⃗ - a ⃗) = BN ⃗ + (1/2) b ⃗ - (1/2) * a ⃗

3. Вектор ВК ⃗: ВК ⃗ = BM ⃗ + MC ⃗ = BM ⃗ + (1/2) (AB ⃗ + AC ⃗) = BM ⃗ + (1/2) (a ⃗ + (-a ⃗)) = BM ⃗ + (1/2) * (a ⃗ - a ⃗) = BM ⃗

Итак, мы выразили векторы (AN,) ⃗, (BC) ⃗, (ВК) ⃗ через векторы а ⃗ и b ⃗: (AN,) ⃗ = (3/2) a ⃗ + (1/2) b ⃗ (BC) ⃗ = BN ⃗ + (1/2) b ⃗ - (1/2) a ⃗ (ВК) ⃗ = BM ⃗

Рассмотрим треугольник (ABC), в котором (M), (N) и (K) - середины сторон (AB), (BC) и (AC) соответственно. Даны векторы ((AM) = \vec{a}) и ((AK) = \vec{b}). Требуется выразить векторы ((AN)), ((BC)) и ((BK)) через векторы (\vec{a}) и (\vec{b}).

1. Вектор ((AN)): (N) - середина стороны (BC). Используем свойство векторов в треугольнике.

   Вектор ((AN)) можно выразить через векторы ((AB)) и ((AC)). Вспомним, что (M) - середина (AB), значит: [ \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB} = \vec{a} ] Отсюда: [ \vec{AB} = 2\vec{a} ] Аналогично, так как (K) - середина (AC): [ \vec{AK} = \frac{1}{2} \vec{AC} = \vec{b} ] Отсюда: [ \vec{AC} = 2\vec{b} ]

   (N) - середина (BC), поэтому: [ \vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} ]

   Чтобы найти ((AN)), сначала найдём координаты точек (B) и (C) относительно точки (A): [ \vec{B} = \vec{A} + 2\vec{a} ] [ \vec{C} = \vec{A} + 2\vec{b} ]

   Тогда координаты точки (N): [ \vec{N} = \frac{(\vec{A} + 2\vec{a}) + (\vec{A} + 2\vec{b})}{2} = \frac{2\vec{A} + 2\vec{a} + 2\vec{b}}{2} = \vec{A} + \vec{a} + \vec{b} ]

   Соответственно, вектор ((AN)): [ \vec{AN} = \vec{N} - \vec{A} = (\vec{A} + \vec{a} + \vec{b}) - \vec{A} = \vec{a} + \vec{b} ]

2. Вектор ((BC)): Вектор ((BC)) можно выразить через координаты точек (B) и (C): [ \vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} ]

   Используем ранее найденные координаты точек (B) и (C): [ \vec{BC} = (\vec{A} + 2\vec{b}) - (\vec{A} + 2\vec{a}) = 2\vec{b} - 2\vec{a} = 2(\vec{b} - \vec{a}) ]

3. Вектор ((BK)): Точка (K) - середина стороны (AC). Вектор ((BK)) можно выразить через координаты точек (B) и (K): [ \vec{BK} = \vec{K} - \vec{B} ]

   Так как (K) - середина (AC), то: [ \vec{K} = \vec{A} + \vec{b} ]

   Используем ранее найденные координаты точки (B): [ \vec{BK} = (\vec{A} + \vec{b}) - (\vec{A} + 2\vec{a}) = \vec{b} - 2\vec{a} ]

Итак, выражения для искомых векторов: [ \vec{AN} = \vec{a} + \vec{b} ] [ \vec{BC} = 2(\vec{b} - \vec{a}) ] [ \vec{BK} = \vec{b} - 2\vec{a} ]