Линия пересечения сферы и плоскости,удаленной от центра сферы на 8 см,имеет длину 12П см. Найти площадь...

Для решения задачи начнем с анализа условий и применим геометрические соотношения.

1. Определим радиус окружности, образованной пересечением. Окружность, являющаяся линией пересечения сферы и плоскости, имеет длину (12\pi) см. Длина окружности выражается через её радиус (r) как: [ 2\pi r = 12\pi ] Упростим это уравнение, разделив обе стороны на (\pi): [ 2r = 12 \implies r = 6 \text{ см} ]

2. Используем теорему Пифагора для нахождения радиуса сферы (R). Центр сферы, плоскость и радиус окружности пересечения образуют прямоугольный треугольник, в котором:

   • Гипотенуза — это радиус сферы (R),
   • Один из катетов — это расстояние от центра сферы до плоскости, равное 8 см,
   • Другой катет — это радиус окружности пересечения (r = 6) см.

   Применим теорему Пифагора: [ R^2 = 8^2 + 6^2 ] [ R^2 = 64 + 36 = 100 ] [ R = \sqrt{100} = 10 \text{ см} ]

3. Найдем площадь поверхности сферы. Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле: [ S = 4\pi R^2 ] Подставим найденное значение (R = 10) см: [ S = 4\pi \times 10^2 = 4\pi \times 100 = 400\pi \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь поверхности сферы составляет (400\pi) квадратных сантиметров.

Для наглядности можно представить рисунок: сфера с центром (O), плоскость, удаленная от центра на 8 см, и окружность пересечения. В треугольнике (OAC), где (O) — центр сферы, (A) — центр окружности пересечения, и (C) — точка на окружности пересечения, (OA = 8) см, (AC = r = 6) см, а (OC = R = 10) см.

Для решения данной задачи сначала найдем радиус сферы. Поскольку плоскость удалена от центра сферы на 8 см, то линия пересечения сферы и этой плоскости будет равна диаметру сферы. Следовательно, длина диаметра сферы равна 12π см, откуда находим радиус сферы: Диаметр = 2 Радиус 12π = 2 Радиус Радиус = 6π см

Теперь найдем площадь поверхности сферы. Формула для площади поверхности сферы: S = 4πR^2 S = 4π(6π)^2 S = 4π36π^2 S = 144π^3 см^2

Таким образом, площадь поверхности сферы равна 144π^3 квадратных сантиметров.

Ниже приведен рисунок для наглядного представления задачи: (вставить рисунок)

Длина линии пересечения сферы и плоскости равна окружности, которая находится на расстоянии 8 см от центра сферы. Площадь поверхности сферы можно найти по формуле S = 4πr², где r - радиус сферы.

На рисунке изображена сфера с радиусом r и плоскость, пересекающая сферу и образующая окружность длиной 12π см. Радиус этой окружности равен 8 см.

Таким образом, радиус сферы r = 8 см. Подставляем его в формулу и находим площадь поверхности сферы: S = 4π(8)² = 256π см².

Ответ: площадь поверхности сферы равна 256π см².