Лежат ли точки A(3;-2;-4), B(-1;-2;7), C(0;-1;0), D(5;-4;-1) в одной плоскости? Ответ обосновать.

Чтобы определить, лежат ли четыре точки в одной плоскости, необходимо проверить, является ли векторное произведение векторов, образованных этими точками, равным нулю. Если это так, то точки копланарны.

Предположим, что точки A, B, C и D могут лежать в одной плоскости. Сначала найдем векторы, которые можно составить из данных точек:

1. Вектор (\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 3, -2 - (-2), 7 - (-4)) = (-4, 0, 11)).
2. Вектор (\overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 3, -1 - (-2), 0 - (-4)) = (-3, 1, 4)).
3. Вектор (\overrightarrow{AD} = D - A = (5 - 3, -4 - (-2), -1 - (-4)) = (2, -2, 3)).

Теперь вычислим векторное произведение векторов (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{AC}):

[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -4 & 0 & 11 \ -3 & 1 & 4 \ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 4 - 11 \cdot 1) - \mathbf{j}(-4 \cdot 4 - 11 \cdot (-3)) + \mathbf{k}(-4 \cdot 1 - 0 \cdot (-3)) ]

[ = \mathbf{i}(0 - 11) - \mathbf{j}(-16 + 33) + \mathbf{k}(-4 - 0) ]

[ = \mathbf{i}(-11) - \mathbf{j}(17) + \mathbf{k}(-4) ]

[ = (-11, -17, -4) ]

Теперь найдем скалярное произведение полученного векторного произведения с вектором (\overrightarrow{AD}):

[ (-11, -17, -4) \cdot (2, -2, 3) = -11 \cdot 2 + (-17) \cdot (-2) + (-4) \cdot 3 ]

[ = -22 + 34 - 12 ]

[ = 0 ]

Так как скалярное произведение равно нулю, это говорит о том, что векторы (\overrightarrow{AB}), (\overrightarrow{AC}) и (\overrightarrow{AD}) компланарны, и, следовательно, точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Для того чтобы проверить, лежат ли точки A, B, C и D в одной плоскости, нужно вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD. Если объем равен нулю, то точки лежат в одной плоскости. Если нет, то нет.

Для того чтобы определить, лежат ли данные точки в одной плоскости, можно воспользоваться уравнением плоскости в трехмерном пространстве.

Уравнение плоскости можно записать в виде Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C - коэффициенты, определяющие нормаль к плоскости, а x, y, z - координаты точек на плоскости.

Для точек A(3;-2;-4), B(-1;-2;7), C(0;-1;0) построим векторы AB и AC: AB = (-1-3; -2+2; 7+4) = (-4; 0; 11) AC = (0-3; -1+2; 0+4) = (-3; 1; 4)

Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC: n = AB x AC = i(04 - 111) - j(-44 - 11(-3)) + k(-41 - 0(-3)) = i(-11) - j(-16 + 33) + k(-4) = -11i + 17j - 4k

Так как вектор n является нормалью к плоскости, то можем записать уравнение плоскости: -11x + 17y - 4z + D = 0

Теперь подставим координаты точки D(5;-4;-1) в уравнение плоскости: -115 + 17(-4) - 4*(-1) + D = 0 -55 - 68 + 4 + D = 0 -119 + 4 + D = 0 D = 119 - 4 D = 115

Таким образом, уравнение плоскости имеет вид: -11x + 17y - 4z + 115 = 0

Подставим координаты оставшихся точек A, B, C в уравнение плоскости: для точки A(3;-2;-4): -113 + 17(-2) - 4(-4) + 115 = -33 - 34 + 16 + 115 = 64 0 для точки B(-1;-2;7): -11(-1) + 17(-2) - 47 + 115 = 11 - 34 - 28 + 115 = 64 0 для точки C(0;-1;0): 17*(-1) + 115 = 17 - 115 = -98 0

Таким образом, точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, так как не удовлетворяют уравнению данной плоскости.