КУБ - ABCD A1B1C1D1. Пусть диагональ грани куба равна 4 см. Постройте сечение куба и найдите его периметр,...

Для начала построим сечение куба, проходящее через середины рёбер AB, AD и AA1. Для этого соединим середины рёбер AB и AD, получившиеся прямые пересекутся в точке O. Также соединим точку O с серединой ребра AA1. Получим плоскость, проходящую через середины рёбер куба.

Теперь найдем периметр этого сечения. Отметим, что это сечение является квадратом, так как все его стороны равны между собой. Найдем длину стороны квадрата.

Рассмотрим треугольник OAB. Из условия задачи известно, что диагональ грани куба равна 4 см. Так как точка O - середина ребра AB, то отрезок OA равен половине диагонали грани куба, то есть 2 см. Таким же образом, отрезок OB также равен 2 см.

Теперь рассмотрим треугольник AOA1. Так как точка O лежит на прямой, соединяющей середины ребер AA1 и AB, то отрезок OA1 равен половине длины ребра куба, то есть 2 см.

Итак, сторона квадрата (длина отрезка OA1) равна 2 см. Значит, периметр этого сечения куба равен 4*2 = 8 см.

Для решения этой задачи сначала определим координаты точек куба и середины указанных рёбер, через которые будет проходить сечение.

1. Координаты вершин куба:

   • Пусть куб имеет ребро длиной ( a ).
   • Вершина ( A ) имеет координаты ( (0, 0, 0) ).
   • Вершина ( B ) имеет координаты ( (a, 0, 0) ).
   • Вершина ( D ) имеет координаты ( (0, a, 0) ).
   • Вершина ( A1 ) имеет координаты ( (0, 0, a) ).

2. Определяем длину ребра куба:

   • Диагональ грани куба, например, ( AC ), равна ( 4 ) см.
   • Диагональ грани куба равна ( a\sqrt{2} ), потому что диагональ квадрата со стороной ( a ) равна ( a\sqrt{2} ).
   • Уравнение: ( a\sqrt{2} = 4 ).
   • Отсюда ( a = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} ) см.

3. Находим середины рёбер:

   • Середина ребра ( AB ) имеет координаты ( \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right) = \left(\sqrt{2}, 0, 0\right) ).
   • Середина ребра ( AD ) имеет координаты ( \left(0, \frac{a}{2}, 0\right) = \left(0, \sqrt{2}, 0\right) ).
   • Середина ребра ( AA1 ) имеет координаты ( \left(0, 0, \frac{a}{2}\right) = \left(0, 0, \sqrt{2}\right) ).

4. Построение сечения:

   • Сечение куба плоскостью, проходящей через точки ( \left(\sqrt{2}, 0, 0\right) ), ( \left(0, \sqrt{2}, 0\right) ), ( \left(0, 0, \sqrt{2}\right) ), образует треугольник.

5. Определим длины сторон треугольника:

   • Расстояние между точками ( \left(\sqrt{2}, 0, 0\right) ) и ( \left(0, \sqrt{2}, 0\right) ): [ \sqrt{(\sqrt{2} - 0)^2 + (0 - \sqrt{2})^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2. ]
   • Расстояние между точками ( \left(0, \sqrt{2}, 0\right) ) и ( \left(0, 0, \sqrt{2}\right) ): [ \sqrt{(0 - 0)^2 + (\sqrt{2} - 0)^2 + (0 - \sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2. ]
   • Расстояние между точками ( \left(\sqrt{2}, 0, 0\right) ) и ( \left(0, 0, \sqrt{2}\right) ): [ \sqrt{(\sqrt{2} - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - \sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2. ]

6. Периметр треугольника:

   • Так как все три стороны треугольника равны и каждая равна 2 см, периметр треугольника: [ P = 2 + 2 + 2 = 6 \, \text{см}. ]

Таким образом, сечение куба плоскостью, проходящей через середины рёбер ( AB ), ( AD ) и ( AA1 ), является равносторонним треугольником с периметром ( 6 ) см.

Сечение куба будет прямоугольником со сторонами 2 см и 4 см. Периметр данного сечения будет равен 12 см.