Круговой сектор ограничен радиусами, равными 5см, и дугой в 90°. Найдите площадь круга, вписанного в...

Чтобы найти площадь круга, вписанного в круговой сектор, давайте сначала разберёмся с геометрией этого сектора.

1. Определение сектора: Круговой сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. В данном случае радиусы равны 5 см, а угол между ними составляет 90°.

2. Определение вписанного круга: Вписанный круг — это круг, который касается всех сторон многоугольника или кривой. В случае кругового сектора вписанный круг будет касаться обеих радиус — это значит, что он будет расположен в углу сектора и будет касаться дуги.

3. Радиус вписанного круга: Радиус вписанного круга в круговой сектор можно найти по формуле: [ r = \frac{R \cdot \sin(\alpha/2)}{1 + \sin(\alpha/2)} ] где ( R ) — радиус сектора, а ( \alpha ) — угол сектора в радианах.

   В вашем случае:

   • ( R = 5 ) см
   • Угол ( \alpha = 90° = \frac{\pi}{2} ) радиан.

   Находим ( \sin(\alpha/2) ): [ \alpha/2 = 45° = \frac{\pi}{4} ] [ \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

   Теперь подставим значения в формулу: [ r = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{2}/2}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{2}/2}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} ]

   Упростим это выражение: [ r = \frac{5\sqrt{2}(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{5\sqrt{2}(2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{5\sqrt{2}(2 - \sqrt{2})}{2} ]

   Теперь численно вычислим: [ r = \frac{5\sqrt{2}(2 - \sqrt{2})}{2} ]

4. Площадь круга: Площадь ( S ) круга с радиусом ( r ) определяется формулой: [ S = \pi r^2 ] Подставляем значение ( r ): [ S = \pi \left( \frac{5\sqrt{2}(2 - \sqrt{2})}{2} \right)^2 = \pi \cdot \frac{25 \cdot 2(2 - \sqrt{2})^2}{4} ] Упрощая, получаем: [ S = \frac{25\pi(2(2 - 2\sqrt{2} + 2))}{4} = \frac{25\pi(4 - 4\sqrt{2})}{4} = \frac{25\pi}{4}(4 - 4\sqrt{2}) = 25\pi(1 - \sqrt{2}) ]

Таким образом, площадь круга, вписанного в сектор, равна ( 25\pi(1 - \sqrt{2}) ) квадратных сантиметров.

Чтобы найти площадь круга, вписанного в данный сектор, нужно рассмотреть связь между радиусом вписанного круга и геометрией сектора. Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано:

1. Радиус сектора ( R = 5 \, \text{см} ),
2. Угол сектора ( \theta = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \, \text{рад} ).

Решение:

1. Вспомним геометрию круга, вписанного в сектор:

Круг, вписанный в сектор, касается двух радиусов и дуги сектора. Если радиус вписанного круга обозначить как ( r ), то его центр находится на биссектрисе угла сектора, а расстояние от центра вписанного круга до вершины сектора (вдоль биссектрисы) равно ( R - r ). Это ключевая идея.

2. Найдем радиус вписанного круга:

Для вписанного круга в сектор угол ( \theta ) и радиус сектора ( R ) определяют радиус ( r ) по следующей формуле:

[ r = \frac{R \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1 + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}. ]

Подставим значения: [ \theta = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \implies \frac{\theta}{2} = 45^\circ = \frac{\pi}{4}. ] Так как ( \sin\left(45^\circ\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} ), получаем: [ r = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}. ]

Упростим знаменатель: [ 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}. ]

Теперь подставим в формулу для ( r ): [ r = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}} = \frac{5 \cdot \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}. ]

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение ( 2 - \sqrt{2} ), чтобы упростить: [ r = \frac{5 \cdot \sqrt{2} \cdot (2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}. ]

В знаменателе: [ (2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2}) = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2. ]

В числителе: [ 5 \cdot \sqrt{2} \cdot (2 - \sqrt{2}) = 5 \cdot (2\sqrt{2} - 2). ]

Итак: [ r = \frac{5 \cdot (2\sqrt{2} - 2)}{2}. ]

Упростим: [ r = \frac{10\sqrt{2} - 10}{2} = 5\sqrt{2} - 5. ]

3. Найдем площадь вписанного круга:

Формула площади круга: [ S = \pi r^2. ]

Подставим ( r = 5\sqrt{2} - 5 ): [ S = \pi \cdot (5\sqrt{2} - 5)^2. ]

Возведем ( 5\sqrt{2} - 5 ) в квадрат: [ (5\sqrt{2} - 5)^2 = (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 5 + 5^2 = 50 - 50\sqrt{2} + 25. ]

Упростим: [ (5\sqrt{2} - 5)^2 = 75 - 50\sqrt{2}. ]

Теперь подставим в формулу площади: [ S = \pi \cdot (75 - 50\sqrt{2}). ]

Или: [ S = 75\pi - 50\sqrt{2}\pi. ]

Ответ:

Площадь круга, вписанного в сектор, равна: [ S = 75\pi - 50\sqrt{2}\pi \, \text{см}^2. ]

Площадь круга, вписанного в круговой сектор, можно найти, зная радиус сектора. В данном случае радиус сектора равен 5 см. Радиус вписанного круга (r) в сектор с углом 90° равен:

[ r = \frac{R}{2} = \frac{5 \text{ см}}{2} = 2.5 \text{ см} ]

Теперь можем найти площадь вписанного круга по формуле:

[ S = \pi r^2 ]

Подставляем значение радиуса:

[ S = \pi (2.5 \text{ см})^2 = \pi \times 6.25 \text{ см}^2 \approx 19.63 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь круга, вписанного в сектор, составляет примерно 19.63 см².