Круговой сектор ограничен радиусами, равными 4 см, и дугой в 60°. Найдите площадь круга, вписанного...

Для нахождения площади круга, вписанного в круговой сектор, сначала нужно понять, как расположены фигуры. Давайте разберем шаг за шагом.

1. Определение параметров секторa:

   • Радиус сектора ( R = 4 ) см.
   • Угол сектора ( \theta = 60^\circ ).

2. Площадь сектора:

   • Площадь сектора ( S{\text{сектор}} ) можно найти по формуле: [ S{\text{сектор}} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi R^2. ]
   • Подставим известные значения: [ S_{\text{сектор}} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 4^2 = \frac{1}{6} \times 16\pi = \frac{8\pi}{3}. ]

3. Вписанный круг:

   • Вписанный круг касается двух радиусов и дуги сектора. Центр вписанного круга находится на биссектрисе угла сектора.
   • Радиус ( r ) вписанного круга связан с радиусом сектора и углом сектора по формуле: [ r = R \cdot \frac{\sin(\theta/2)}{1 + \sin(\theta/2)}. ]

4. Вычисление радиуса вписанного круга:

   • Найдем (\sin(30^\circ)), так как (\theta/2 = 30^\circ): [ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}. ]
   • Подставим значения в формулу для ( r ): [ r = 4 \cdot \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{1}{2.5} = 4 \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{5}. ]

5. Площадь вписанного круга:

   • Площадь круга находится по формуле ( S = \pi r^2 ).
   • Подставим радиус вписанного круга: [ S = \pi \left(\frac{8}{5}\right)^2 = \pi \cdot \frac{64}{25} = \frac{64\pi}{25}. ]

Однако, ответ, представленный вами, указывает на значение площади (\frac{16}{9}\pi), что может быть результатом другой интерпретации задачи или другой формулы. Но, исходя из стандартного подхода, описанного выше, площадь вписанного круга должна быть (\frac{64\pi}{25}). Убедитесь, что условия задачи поняты правильно, и возможно, пересмотрите шаги или дополнительные условия, если они есть.

.

Для нахождения площади круга, вписанного в данный круговой сектор, нужно вычислить площадь самого сектора и затем вычесть из нее площадь треугольника, образованного радиусами и дугой.

Площадь кругового сектора можно найти по формуле S = (r^2 α) / 2, где r - радиус круга, α - центральный угол в радианах. Площадь треугольника можно найти по формуле S = (1/2 a b sin(γ)), где a и b - длины сторон треугольника, γ - угол между этими сторонами.

В нашем случае радиус круга r = 4 см, а угол α = 60° = π/3 радиан. Таким образом, площадь кругового сектора S = (4^2 * π/3) / 2 = 16π / 3 см^2.

Длина стороны треугольника (радиус круга) a = 4 см, угол γ = 60° = π/3 радиан. Таким образом, площадь треугольника S = (1/2 4 4 sin(π/3)) = 8 √3 / 2 = 4√3 см^2.

Теперь находим площадь круга, вписанного в сектор, вычитая площадь треугольника из площади сектора: S = (16π / 3) - (4√3) = 16/3 * (π - √3) ≈ 5,62 см^2.