Круг радиуса 5 см касается трёх сторон прямоугольника,одна из сторон которого равна 17 см. Найдите сумму...

Рассмотрим задачу подробно.

Дан круг радиуса ( r = 5 ) см, который касается трёх сторон прямоугольника. Одна из сторон прямоугольника равна 17 см. Требуется найти сумму расстояний от центра круга до вершин прямоугольника.

1. Пусть прямоугольник имеет стороны ( a ) и ( b ), где ( a = 17 ) см. Обозначим центр круга как точку ( O(x, y) ), а вершины прямоугольника — ( A, B, C, D ).

Круг касается трёх сторон прямоугольника. Это значит, что центр круга ( O ) находится на расстоянии ( r = 5 ) см от этих сторон. Таким образом, центр круга смещён внутрь прямоугольника и находится на пересечении двух прямых, параллельных сторонам прямоугольника, на расстоянии ( r ) от них.

2. Положение центра круга.

Предположим, что круг касается:

• одной длинной стороны (длина ( a = 17 )),
• двух коротких сторон (длина ( b )).

Тогда центр круга ( O(x, y) ) будет находиться на расстоянии ( 5 ) см от двух коротких сторон и ( 5 ) см от одной из длинных сторон. Это определяет координаты центра ( O ):

• ( x = 5 ) (расстояние от одной из вертикальных сторон),
• ( y = 5 ) (расстояние от одной из горизонтальных сторон).

3. Геометрия прямоугольника.

Прямоугольник имеет стороны ( a = 17 ) и ( b ). Центр круга находится внутри прямоугольника. Таким образом:

• Координаты вершин прямоугольника можно записать как:
  • ( A(0, 0) ),
  • ( B(17, 0) ),
  • ( C(17, b) ),
  • ( D(0, b) ).

Центр круга ( O(5, 5) ), так как радиус ( r = 5 ), и круг касается трёх сторон прямоугольника.

4. Найдём сумму расстояний от ( O ) до всех вершин прямоугольника.

Расстояние между двумя точками ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ) вычисляется по формуле: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. ]

Найдём расстояния от ( O(5, 5) ) до каждой из вершин:

1. Расстояние до ( A(0, 0) ): [ OA = \sqrt{(5 - 0)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. ]

2. Расстояние до ( B(17, 0) ): [ OB = \sqrt{(5 - 17)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13. ]

3. Расстояние до ( C(17, b) ): Здесь нужно знать значение ( b ). Радиус круга равен 5, и он касается трёх сторон прямоугольника, следовательно, ( b = 10 ) (т.к. расстояние от центра до двух горизонтальных сторон будет равно ( r + r = 10 )).

Теперь ( C(17, 10) ), и расстояние: [ OC = \sqrt{(5 - 17)^2 + (5 - 10)^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13. ]

1. Расстояние до ( D(0, b) ), где ( D(0, 10) ): [ OD = \sqrt{(5 - 0)^2 + (5 - 10)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. ]

5. Сумма расстояний.

Теперь найдём сумму всех расстояний: [ OA + OB + OC + OD = 5\sqrt{2} + 13 + 13 + 5\sqrt{2} = 26 + 10\sqrt{2}. ]

Ответ:

Сумма расстояний от центра круга до вершин прямоугольника равна: [ \boxed{26 + 10\sqrt{2}} \, \text{см}. ]

Чтобы решить задачу, начнем с того, что у нас есть круг радиуса 5 см, который касается трех сторон прямоугольника. Зная, что одна из сторон прямоугольника равна 17 см, мы можем обозначить стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ), где ( a = 17 ) см.

Поскольку круг касается трех сторон прямоугольника, это означает, что его центр находится на расстоянии радиуса от этих сторон. Следовательно, если мы обозначим центр круга как ( O ), а стороны прямоугольника как ( AB ) (длина ( a = 17 ) см) и ( BC ) (длина ( b )), тогда у нас имеется следующее:

1. Расстояние от центра круга до стороны ( AB ) равно радиусу круга, то есть 5 см.
2. Расстояние от центра круга до стороны ( BC ) также равно 5 см.
3. Круг касается третьей стороны, допустим, ( CD ), и расстояние от центра до этой стороны также равно 5 см.

Теперь, чтобы найти длину второй стороны ( b ), мы можем использовать тот факт, что круг касается трех сторон прямоугольника. Так как одна из сторон равна 17 см, а круг касается двух других сторон, можно предположить, что расстояние от центра круга до стороны ( AD ) (или ( CD )) равно 5 см.

Поскольку:

• ( AB = 17 ) см (где круг касается),
• расстояние от центра до стороны ( AD ) равно ( 5 ) см,
• расстояние от центра до стороны ( BC ) также равно ( 5 ) см,

то мы можем сказать, что длина стороны ( b ) будет равна ( 5 + 5 = 10 ) см. То есть, одна сторона прямоугольника равна 17 см, а другая — 10 см.

Теперь мы можем найти координаты центра круга ( O ). Пусть:

• ( O = (x, y) ), где ( x ) — расстояние от центра до одной из сторон (17 см), а ( y ) — расстояние до другой стороны (10 см).

Мы можем разместить прямоугольник в координатной системе. Предположим, что:

• точка ( A(0, 0) ),
• точка ( B(17, 0) ),
• точка ( C(17, 10) ),
• точка ( D(0, 10) ).

В этом случае центр круга ( O ) будет находиться в точке ( (5, 5) ). Теперь найдем расстояния от центра круга до каждой из вершин прямоугольника:

1. Расстояние до точки ( A(0, 0) ): [ OA = \sqrt{(5 - 0)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 \, \text{см} ]

2. Расстояние до точки ( B(17, 0) ): [ OB = \sqrt{(5 - 17)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \, \text{см} ]

3. Расстояние до точки ( C(17, 10) ): [ OC = \sqrt{(5 - 17)^2 + (5 - 10)^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \, \text{см} ]

4. Расстояние до точки ( D(0, 10) ): [ OD = \sqrt{(5 - 0)^2 + (5 - 10)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 \, \text{см} ]

Теперь суммируем все найденные расстояния: [ S = OA + OB + OC + OD = 5\sqrt{2} + 13 + 13 + 5\sqrt{2} = 26 + 10\sqrt{2} \approx 26 + 14.14 \approx 40.14 \, \text{см} ]

Таким образом, сумма расстояний от центра круга до вершин прямоугольника составляет ( 26 + 10\sqrt{2} ) см.