Концы отрезка АВ расположены по разные стороны от плоскости а. Точка С принадлежит АВ и АС :СВ=2:3....

Длина отрезка СС1 равна 6 см.

Рассмотрим задачу по шагам.

1. У нас есть отрезок ( AB ), концы которого расположены по разные стороны от плоскости ( \alpha ). Точка ( C ) принадлежит отрезку ( AB ) и делит его в отношении ( AC:CB = 2:3 ).

2. Проведены прямые через точки ( A ), ( B ) и ( C ), которые пересекают плоскость ( \alpha ) в точках ( A_1 ), ( B_1 ) и ( C_1 ) соответственно. Нам надо найти длину отрезка ( CC_1 ), зная, что ( AA_1 = 8 ) см и ( BB_1 = 3 ) см.

3. Для начала определим, где находится точка ( C ) на отрезке ( AB ). Мы знаем, что отношение ( AC:CB = 2:3 ). Это значит, что если ( AC = 2x ), то ( CB = 3x ). Таким образом, весь отрезок ( AB = AC + CB = 2x + 3x = 5x ).

4. Теперь обозначим ( A ) и ( B ) как проекции на плоскость ( \alpha ) в точках ( A_1 ) и ( B_1 ) соответственно. То есть, ( A ) и ( B ) находятся на перпендикулярах к плоскости ( \alpha ), проходящих через ( A_1 ) и ( B_1 ).

5. Заметим, что точки ( A ), ( B ) и ( C ) лежат на одной прямой, и через них проходят перпендикуляры к плоскости ( \alpha ), которые пересекают эту плоскость в точках ( A_1 ), ( B_1 ) и ( C_1 ) соответственно.

6. Теперь рассмотрим, как точка ( C ) делит отрезок ( AB ). Так как отношение ( AC:CB = 2:3 ), точка ( C ) делит отрезок ( AB ) на две части, длины которых пропорциональны ( 2/5 ) и ( 3/5 ) от общей длины отрезка ( AB ).

7. Перпендикуляры, проведенные через точки ( A ), ( B ) и ( C ), также делятся в этом же отношении. Это связано с тем, что точка ( C ) делит отрезок ( AB ) в определенном отношении, и это же отношение сохраняется для перпендикуляров.

8. Длина отрезка ( CC_1 ) выражается через длины перпендикуляров ( AA_1 ) и ( BB_1 ). Так как ( AC:CB = 2:3 ), точка ( C ) находится на высоте, которая делится в том же отношении. Тогда длина отрезка ( CC_1 ) будет пропорциональна этому отношению.

9. Расчет длины отрезка ( CC_1 ):

   Если ( AA_1 = 8 ) см, а ( BB_1 = 3 ) см, то точка ( C ) делит эти перпендикуляры в отношении ( 2:3 ). Найдем, на какой высоте находится точка ( C ) относительно точки ( A ).

   Пусть ( h ) — высота от точки ( C ) до плоскости ( \alpha ). В таком случае:

   ( h = \frac{2}{2+3} \times (8 + 3) = \frac{2}{5} \times 11 = \frac{22}{5} = 4.4 ) см.

10. Таким образом, длина отрезка ( CC_1 ) будет равна ( 4.4 ) см.

Для начала определим координаты точек А, В и С в пространстве. Пусть точка А имеет координаты (x1, y1, z1), точка В - (x2, y2, z2), и точка С - (x3, y3, z3).

Так как точка С делит отрезок АВ в отношении 2:3, то можно записать следующие уравнения: x3 = (2x2 + 3x1) / 5 y3 = (2y2 + 3y1) / 5 z3 = (2z2 + 3z1) / 5

Зная координаты точек А, В и С, можно определить уравнения прямых, проходящих через них и параллельных плоскости а. После этого найдем точки пересечения этих прямых с плоскостью а - точки А1, В1 и С1.

Далее, найдем длину отрезка СС1. Для этого можно воспользоваться формулой для расстояния между двумя точками в пространстве: CC1 = sqrt((x3 - x3')^2 + (y3 - y3')^2 + (z3 - z3')^2)

где (x3', y3', z3') - координаты точки С1.

Таким образом, после нахождения координат точек С и С1, можно рассчитать длину отрезка СС1 по указанной выше формуле.