Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 20 и 52. Найти высоту, поведённую к гипотенузе

Чтобы найти высоту, проведённую к гипотенузе прямоугольного треугольника, начнём с базовых понятий и воспользуемся некоторыми теоремами.

Дано:

• Один из катетов ( a = 20 )
• Гипотенуза ( c = 52 )

Нам нужно найти высоту ( h ), опущенную на гипотенузу ( c ).

Шаг 1: Найдём второй катет

Сначала найдём длину второго катета ( b ) с помощью теоремы Пифагора: [ c^2 = a^2 + b^2 ]

Подставим известные значения: [ 52^2 = 20^2 + b^2 ] [ 2704 = 400 + b^2 ] [ b^2 = 2704 - 400 ] [ b^2 = 2304 ] [ b = \sqrt{2304} ] [ b = 48 ]

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника:

• Катет ( a = 20 )
• Катет ( b = 48 )
• Гипотенуза ( c = 52 )

Шаг 2: Найдём площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами. Первый способ — через катеты: [ S = \frac{1}{2} a b ] [ S = \frac{1}{2} \times 20 \times 48 ] [ S = \frac{1}{2} \times 960 ] [ S = 480 ]

Шаг 3: Найдём высоту, опущенную на гипотенузу

Площадь треугольника также можно выразить через гипотенузу и высоту, опущенную на неё: [ S = \frac{1}{2} c h ]

Из этого выражения можно найти высоту ( h ): [ 480 = \frac{1}{2} \times 52 \times h ] [ 480 = 26 \times h ] [ h = \frac{480}{26} ] [ h = \frac{240}{13} ] [ h \approx 18.46 ]

Итак, высота, проведённая к гипотенузе, равна (\frac{240}{13}) или приблизительно (18.46) единиц.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Таким образом, имеем уравнение:

20^2 + h^2 = 52^2 400 + h^2 = 2704 h^2 = 2304 h = √2304 h = 48

Таким образом, высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 48.