Какие из следующих утверждений верны? 1. Длина медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе,...

1. Верно. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы, так как в прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе также является высотой, и делит ее пополам.
2. Неверно. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла только в случае равнобедренного треугольника.
3. Неверно. Параллелограмм, у которого диагонали равны, не обязательно является ромбом. Для того чтобы параллелограмм был ромбом, необходимо, чтобы все его стороны были равными.

1. Верно.
2. Неверно.
3. Неверно.

Рассмотрим каждое из утверждений по отдельности:

1. Длина медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.

Это утверждение верно. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, обладает особым свойством: она делит гипотенузу на две равные части и равна половине её длины. Это следует из того, что медиана, проведённая к гипотенузе, является радиусом окружности, описанной вокруг треугольника. В эту окружность вписан прямоугольный треугольник, и гипотенуза является её диаметром. Если обозначить гипотенузу как ( c ), то длина медианы будет ( \frac{c}{2} ).

1. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

Это утверждение также верно. Биссектриса угла делит угол пополам, и если точка находится на биссектрисе угла, то она будет равноудалена от обеих сторон этого угла. Это означает, что перпендикуляры, опущенные из этой точки на обе стороны угла, будут иметь одинаковую длину. Это свойство является одним из основных свойств биссектрисы угла и используется, например, в построениях и доказательствах в геометрии.

1. Если диагонали параллелограмма равны, то он является ромбом.

Это утверждение неверно. Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником, а не обязательно ромбом. В ромбе диагонали действительно пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами углов, но они не обязательно равны. В прямоугольнике же диагонали всегда равны, но стороны не обязательно равны, что и отличает его от ромба. Таким образом, равенство диагоналей является признаком прямоугольника, а не ромба.

Подведем итог:

1. Верно.
2. Верно.
3. Неверно.