KABCD- Четырехугольная пирамида, ABCD- ромб, AB=BD, P(ABCD)=16, КО перпендикуляр (АВС), КО=1 Найти: Sбок
KABCD- Четырехугольная пирамида, ABCD- ромб, AB=BD, P(ABCD)=16, КО перпендикуляр (АВС), КО=1 Найти: Sбок
Для решения задачи найдем боковую поверхность пирамиды ( KABCD ), где ( ABCD ) — ромб, ( AB = BD ), ( P(ABCD) = 16 ), ( KO ) перпендикулярно плоскости ( ABC ) и ( KO = 1 ).
Найдем сторону ромба ( AB ): Поскольку ( ABCD ) — ромб, у него все стороны равны, и периметр ромба равен сумме длин всех его сторон: [ 4a = 16 \implies a = 4 ] где ( a ) — длина стороны ромба.
Найдем диагонали ромба ( AC ) и ( BD ): В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Обозначим ( AC = 2d_1 ) и ( BD = 2d_2 ). Поскольку ( AB = BD ), это означает, что ( AB ) — половина диагонали ( BD ). Используя свойства ромба и теорему Пифагора: [ AD = AB = 4 ] [ AC = 2d_1, \quad BD = 2d_2 \implies \left( \frac{AC}{2} \right)^2 + \left( \frac{BD}{2} \right)^2 = AB^2 \implies d_1^2 + d_2^2 = 16 ] Поскольку ( AB = BD ): [ 2d_2 = 4 \implies d_2 = 2 ] [ d_1^2 + 2^2 = 16 \implies d_1^2 + 4 = 16 \implies d_1^2 = 12 \implies d_1 = 2\sqrt{3} ] Таким образом, диагонали ромба: ( AC = 4\sqrt{3} ) и ( BD = 4 ).
Высота пирамиды ( KO ): ( KO = 1 ) (дано).
Площадь треугольников ( KAB, KBC, KCD, KDA ): Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды, найдём площадь каждого из боковых треугольников: [ S{\triangle KAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot KO = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2 ] [ S{\triangle KBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot KO = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2 ] [ S{\triangle KCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot KO = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2 ] [ S{\triangle KDA} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot KO = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2 ]
Общая площадь боковой поверхности ( S_{\text{бок}} ): Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей всех боковых граней: [ S{\text{бок}} = S{\triangle KAB} + S{\triangle KBC} + S{\triangle KCD} + S{\triangle KDA} ] [ S{\text{бок}} = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 ]
Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды ( KABCD ) равна ( 8 ) квадратных единиц.
Для решения этой задачи нам нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды KABCD.
Поскольку ABCD - ромб, то у него углы равны между собой, а диагонали равны. Поэтому AB = BD = 4 (так как P(ABCD) = 16, а периметр ромба равен удвоенной длине стороны).
Также из условия известно, что KO перпендикулярен AB, и KO = 1. Таким образом, по теореме Пифагора можно найти длину KO, которая равна 2 (1^2 + AB^2 = KO^2).
Теперь нам нужно найти высоту пирамиды, проходящую через вершину K и перпендикулярную основанию ABCD. Рассмотрим прямоугольный треугольник KOD, где KD - высота пирамиды. По теореме Пифагора получаем KD = √(KO^2 + OD^2) = √(2^2 + 1^2) = √5.
Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. Так как боковая поверхность пирамиды представляет собой четыре равнобедренных треугольника, то площадь одного из них равна 0.5 AB KD = 0.5 4 √5 = 2√5.
Итак, площадь боковой поверхности пирамиды равна 4√5.
