К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС, проведена касательная, пересекающая боковые стороны АС и ВС в точках D и Е соответственно.Найдите периметр треугольника CDE, если периметр треугольника АВС равен 20 см и АВ = 6 см.
К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС, проведена касательная, пересекающая боковые стороны АС и ВС в точках D и Е соответственно.Найдите периметр треугольника CDE, если периметр треугольника АВС равен 20 см и АВ = 6 см.
Пусть радиус вписанной окружности равен r, а высота проведенного из вершины треугольника на основание равна h. Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота h является медианой и биссектрисой, следовательно, она делит основание на две равные части, то есть CD = CE = (20 - 6) / 2 = 7 см.
Из свойств касательных к окружности следует, что CD = BD = s - AB = (20 - 6) / 2 = 7 см, где s - полупериметр треугольника ABC.
Таким образом, сумма сторон треугольника CDE равна 7 + 7 + 6 = 20 см. Периметр треугольника CDE равен 20 см.
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности и касательных к окружности.
Рассмотрим равнобедренный треугольник ( \triangle ABC ) с основанием ( BC ) и боковыми сторонами ( AC = AB = 6 ) см. Пусть окружность вписана в этот треугольник и касается стороны ( BC ) в точке ( F ), стороны ( AC ) в точке ( G ), и стороны ( AB ) в точке ( H ).
Касательная к окружности, проходящая через точки ( D ) и ( E ), пересекает боковые стороны ( AC ) и ( BC ) соответственно. Это значит, что ( AD = AG ) и ( BE = BF ), поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
Из условия задачи известно, что периметр треугольника ( \triangle ABC ) равен 20 см. Это можно записать как: [ AB + BC + CA = 20 ]
Подставим известные значения: [ 6 + BC + 6 = 20 ] [ BC = 8 ]
Теперь рассмотрим свойства касательных. Так как ( AD = AG ) и ( BE = BF ), а также ( DG = DE ) (поскольку ( D ) и ( E ) лежат на касательной), то [ CD = CG = CF ]
Обозначим длины отрезков касательных:
Тогда: [ AG = AD = x ] [ BF = BE = y ] [ CG = CF = z ]
Тогда из уравнений для периметра: [ AD + DE + BE = x + z + y ]
Поскольку ( DE = z ), периметр треугольника ( CDE ) будет равен: [ CD + DE + EC = z + z + z = 3z ]
Поэтому, чтобы найти ( z ), нам нужно использовать уравнение периметра треугольника ( \triangle ABC ): [ x + y + z = 10 ]
Заметим, что ( x + z = 6 ) и ( y + z = 8 ). Подставим ( x = 6 - z ) и ( y = 8 - z ) в уравнение для периметра: [ (6 - z) + (8 - z) + z = 10 ] [ 14 - z = 10 ] [ z = 4 ]
Таким образом, периметр треугольника ( \triangle CDE ) равен: [ 3z = 3 \times 4 = 12 \text{ см} ]
Следовательно, периметр треугольника ( CDE ) равен 12 см.
