К окружности с центром в точке О из точки А проведены две касательные, угол между которыми равен 60...

Тематика Геометрия
Уровень 5 - 9 классы
окружность центр точка О точка А касательные угол 60 градусов радиус ОА 16 см
0

К окружности с центром в точке О из точки А проведены две касательные, угол между которыми равен 60 градусов. найдите радиус окружности, если ОА =16 см.

avatar
задан 8 месяцев назад

2 Ответа

0

Для начала, давайте разберемся с ключевыми элементами задачи:

  1. Точка О — это центр окружности.
  2. Точка А — это точка вне окружности, из которой проведены касательные к окружности.
  3. Касательные пересекаются с окружностью в точках B и C.
  4. Угол между касательными BAC равен 60 градусам.
  5. Радиус окружности нужно найти, если OA=16 см.

Теперь рассмотрим геометрические свойства касательных:

  • Касательные к окружности из одной точки равны по длине, т.е. AB=AC.
  • Угол между радиусом и касательной в точке касания равен 90 градусам. Следовательно, OBA=90 и OCA=90.
  • Треугольники OBA и OCA являются прямоугольными.

Теперь рассмотрим треугольник OAB:

  1. Мы знаем, что OBA=90.
  2. Пусть R — это радиус окружности. Тогда OB=R и OC=R.
  3. Треугольник OAB прямоугольный, поэтому можем применить теорему Пифагора к треугольнику OAB: OA2=OB2+AB2162=R2+AB2.

Теперь, чтобы использовать угол BAC=60, нам нужно рассмотреть треугольник OAC:

  • В треугольнике OAC угол OAC будет равен половине угла BAC, так как треугольники OAB и OAC симметричны относительно линии OA. Следовательно, OAC=30.
  • В треугольнике OAC у нас есть: cos(OAC)=OCOAcos(30)=R16.
  • Подставим значение cos(30 = \frac{\sqrt{3}}{2} ): 32=R16R=16×32R=83.

Таким образом, радиус окружности равен 83 см.

avatar
ответил 8 месяцев назад
0

Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой о касательных, проведенных к окружности из одной точки. Согласно этой теореме, угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен 90 градусов.

Таким образом, у нас имеется прямоугольный треугольник OAB, где угол между ОА и ОВ радиусамиокружности равен 60 градусов, а ОА равен 16 см.

Для нахождения радиуса окружности можно воспользоваться формулой косинуса для прямоугольного треугольника: cos60градусов = adjacent / hypotenuse cos60 = 16 / OB 1/2 = 16 / OB OB = 32 см

Таким образом, радиус окружности равен 32 см.

avatar
ответил 8 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме