К окружности проведены касательные PK и PM,M и K-точки касания.Найдите уголPMK,если угол MPK=80°

Чтобы найти угол ( \angle PMK ), где к окружности проведены касательные ( PK ) и ( PM ), и ( M ) и ( K ) — точки касания, нужно воспользоваться свойствами касательных и окружности.

1. Свойство касательных: Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен углу, который эта хорда стягивает на окружности в противоположной дуге. В данном случае это означает, что угол между касательной ( PK ) и хордой ( MK ) равен углу, который хорда ( MK ) стягивает на противоположной дуге окружности.

2. Свойство касательных: Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны, а углы между касательными и радиусами, проведенными в точки касания, равны.

3. Четырехугольник, вписанный в окружность: Углы, которые образуют касательные и хорды, обладают таким свойством, что сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна ( 180^\circ ).

Рассмотрим четырехугольник ( PMOK ), где ( O ) — центр окружности:

• Углы ( \angle MPK ) и ( \angle PMK ) являются внешними углами относительно треугольников ( \triangle OPM ) и ( \triangle OPK ).
• Угол ( \angle MPK = 80^\circ ) — угол между касательными.
• Поскольку ( PM ) и ( PK ) являются касательными, углы ( \angle OPM ) и ( \angle OPK ) равны, и каждый из них равен ( 90^\circ ) (поскольку радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной).

Теперь найдем угол ( \angle PMK ):

Заметим, что в четырехугольнике ( PMOK ) сумма всех углов равна ( 360^\circ ). Из этого можно найти угол ( \angle PMK ) с учетом, что:

[ \angle MPK + \angle PMK = 180^\circ \quad \text{(внешние углы)} ]

Таким образом:

[ \angle PMK = 180^\circ - \angle MPK = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ ]

Итак, угол ( \angle PMK ) равен ( 100^\circ ).

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством касательных к окружности, которое гласит, что угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен 90 градусов. Таким образом, угол MPK равен 80 градусов, а значит, угол KPM также равен 80 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник PMK. Учитывая, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, находим угол PMK:

Угол PMK = 180 - угол MPK - угол KPM Угол PMK = 180 - 80 - 80 Угол PMK = 20

Таким образом, угол PMK равен 20 градусов.