Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды sabcd проходящее через вершины A, B и середину...

Для начала нарисуем данную четырехугольную пирамиду sabcd:

     A
    /|\
   / | \
  /  |  \
 /   |   \
/    |    \

B-----M-----C | | | | D-----------S

Где A, B, C, D - вершины пирамиды, S - середина ребра SC, M - точка пересечения сечения.

Так как все ребра пирамиды равны 1, то треугольники ASM и BSM равнобедренные, так как AS = SM = BS = 1. Также угол ASB равен углу BSM, следовательно, угол ASM равен 90 градусов.

Площадь треугольника ASB можно найти по формуле S = 0.5 a b * sin$C$, где a и b - длины сторон треугольника, а C - угол между этими сторонами. Так как угол ASM равен 90 градусов, то sin$90$ = 1.

S$ASB$ = 0.5 1 1 * 1 = 0.5

Так как площадь треугольника ASB равна площади треугольника BSM, то и площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды sabcd, проходящего через вершины A, B и середину ребра SC, равна 2 S$ASB$ = 2 0.5 = 1.

Площадь сечения равна 1.

Чтобы решить эту задачу, начнем с понимания структуры правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$. В этой пирамиде:

• Основание $ABCD$ — квадрат.
• Все боковые рёбра $SA,SB,SC,SD$ равны между собой и имеют длину 1.
• Все рёбра основания также равны 1, поскольку основание — квадрат.

Нам нужно найти площадь сечения, проходящего через вершины $A$, $B$ и середину ребра $SC$.

1. Найдем координаты точек:

   • Пусть основание квадрата $ABCD$ находится в плоскости $xy$, и его центр в начале координат.
   • Тогда вершины квадрата будут $A(0.5,0.5,0$), $B(-0.5,0.5,0$), $C(-0.5,-0.5,0$), $D(0.5,-0.5,0$).

2. Найдем координаты вершины пирамиды $S$:

   • Так как все боковые рёбра равны и равны 1, вершина $S$ будет находиться по оси $z$ на таком расстоянии, чтобы $SA=SB=SC=SD=1$.
   • Поскольку центр основания находится в начале координат, и высота $h$ пирамиды будет равна $\sqrt{1^2-(0.5{)}^2-(0.5{)}^2}=\sqrt{0.5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
   • Поэтому координаты $S(0,0,\frac{\sqrt{2}}{2}$).

3. Найдем координаты середины ребра $SC$:

   • Середина ребра $SC$ будет точкой $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ = \left$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$).

4. Определим сечение:

   • Сечение проходит через точки $A(0.5,0.5,0$), $B(-0.5,0.5,0$) и середину ребра $SC$, которая имеет координаты $(-0.25,-0.25,\frac{\sqrt{2}}{4}$).

5. Найдем площадь треугольника:

   • Вектор $\overrightarrow{AB}=(-0.5,0.5,0$ - $0.5,0.5,0$ = $-1,0,0$).
   • Вектор $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ - $0.5,0.5,0$ = \left$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$).

6. Вычисление векторного произведения:

   $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AM}=\left|\begin{array}{ccccccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}-1& 0& 0-0.75& -0.75& \frac{\sqrt{2}}{4}\end{array}\right|=\mathbf{i}(0\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}-0)-\mathbf{j}(-1\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}-0)+\mathbf{k}(-1\cdot -0.75-0)$

   $=0\mathbf{i}+\frac{\sqrt{2}}{4}\mathbf{j}+0.75\mathbf{k}$

7. Длина векторного произведения:

   $|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AM}|=\sqrt{0^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}^2+{0.75}^2}=\sqrt{0+\frac{2}{16}+0.5625}=\sqrt{0.125+0.5625}=\sqrt{0.6875}$

8. Площадь треугольника:

   Площадь треугольника будет равна половине длины векторного произведения:

   $\text{Площадь}=\frac{1}{2}\times \sqrt{0.6875}\approx \frac{1}{2}\times 0.829=0.4145$

Таким образом, площадь сечения, проходящего через точки $A$, $B$ и середину ребра $SC$, составляет примерно 0.4145.

Сечение будет являться прямоугольником со сторонами AB и SC, перпендикулярными друг другу. Так как AB = SC = 1, площадь сечения будет равна 1.