Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как 1 : 2 : 3, а его объем равен 96 см^3. Найдите...

Для решения данной задачи нам необходимо выразить длину, ширину и высоту параллелепипеда через коэффициенты пропорциональности. Пусть длина параллелепипеда равна x, ширина - 2x, высота - 3x.

Таким образом, объем параллелепипеда равен произведению его трех измерений: V = x 2x 3x = 6x^3 = 96 см^3.

Отсюда находим значение x: 6x^3 = 96, x^3 = 16, x = 2.

Теперь, когда мы знаем значения измерений, можем найти площадь боковой поверхности параллелепипеда. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его боковых граней. Для прямоугольного параллепипеда боковые грани представляют собой прямоугольники.

Площадь каждой боковой грани равна произведению длины на высоту. Так как у нас три боковые грани, то общая площадь боковой поверхности будет равна: S = 2x 3x + 2x 2x + 3x 2x = 6x^2 + 4x^2 + 6x^2 = 16x^2 = 16 2^2 = 64 см^2.

Таким образом, площадь боковой поверхности прямоугольного параллепипеда равна 64 см^2.

Для решения задачи сначала обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда. Пусть его измерения равны ( x ), ( 2x ) и ( 3x ). Эти размеры даны в отношении 1 : 2 : 3. Объем прямоугольного параллелепипеда можно выразить как произведение его измерений:

[ V = x \cdot 2x \cdot 3x = 6x^3 ]

По условию, объем равен 96 см³. Поэтому можем составить уравнение:

[ 6x^3 = 96 ]

Разделим обе стороны уравнения на 6:

[ x^3 = 16 ]

Теперь найдем ( x ), извлекая кубический корень из обеих сторон:

[ x = \sqrt[3]{16} ]

Для упрощения расчетов заметим, что:

[ x^3 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 16^{1/3} ]

Теперь найдем длины сторон параллелепипеда:

[ x = 16^{1/3}, \quad 2x = 2 \cdot 16^{1/3}, \quad 3x = 3 \cdot 16^{1/3} ]

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех боковых граней. Боковые поверхности составляют две пары одинаковых прямоугольников, поэтому:

[ S_{\text{бок}} = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) ]

Подставляем ( a = x ), ( b = 2x ), ( c = 3x ):

[ S_{\text{бок}} = 2 \cdot (x \cdot 2x + x \cdot 3x + 2x \cdot 3x) ]

Упрощаем внутри скобок:

[ x \cdot 2x = 2x^2, \quad x \cdot 3x = 3x^2, \quad 2x \cdot 3x = 6x^2 ]

Складываем:

[ S_{\text{бок}} = 2 \cdot (2x^2 + 3x^2 + 6x^2) = 2 \cdot 11x^2 = 22x^2 ]

Теперь подставим значение ( x^2 ):

( x^3 = 16 \rightarrow x^2 = \frac{16}{x} )

Зная, что ( x = 16^{1/3} ), получаем:

[ x^2 = \frac{16}{16^{1/3}} = 16^{2/3} ]

Наконец, площадь боковой поверхности:

[ S_{\text{бок}} = 22 \cdot 16^{2/3} ]

Известно, что ( 16^{2/3} = 4 ) (поскольку ( 16 = 2^4 ) и ( (2^4)^{2/3} = 2^{8/3} = 4 )), следовательно:

[ S_{\text{бок}} = 22 \cdot 4 = 88 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 88 см².

Пусть длина, ширина и высота параллелепипеда равны 1x, 2x и 3x соответственно. Тогда объем параллелепипеда равен (1x) (2x) (3x) = 6x^3 = 96 см^3. Отсюда x = 2 см.

Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 2 (1x + 2x + 3x) 3x = 2 6x 3x = 36x^2 = 36 * (2)^2 = 144 см^2.