Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведены биссектриса и высота , угол между которыми...

Для решения задачи воспользуемся известными свойствами прямоугольного треугольника и его биссектрисы и высоты.

Обозначим:

• ( \triangle ABC ) — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине ( C ).
• ( \angle ACB = 90^\circ ).
• ( CD ) — высота, опущенная из ( C ) на гипотенузу ( AB ).
• ( CE ) — биссектриса угла ( \angle ACB ).

По условию, ( \angle DCE = 19^\circ ).

Нам нужно найти острые углы треугольника, то есть ( \angle CAB = \alpha ) и ( \angle ABC = \beta ).

Так как ( CE ) — биссектриса угла ( \angle ACB ), то она делит угол ( \angle ACB ) на два равных угла: [ \angle ACE = \angle BCE = 45^\circ. ]

Высота ( CD ) также образует два угла:

• ( \angle ACD )
• ( \angle BCD )

Поскольку ( \angle ACB = 90^\circ ), то ( \angle ACD + \angle BCD = 90^\circ ).

Теперь, используя данное условие ( \angle DCE = 19^\circ ), выразим углы ( \angle ACD ) и ( \angle BCD ): [ \angle ACD = \angle ACE - \angle DCE = 45^\circ - 19^\circ = 26^\circ, ] [ \angle BCD = \angle BCE - \angle DCE = 45^\circ - 19^\circ = 26^\circ. ]

Таким образом, ( \angle ACD = \angle BCD = 26^\circ ).

Теперь найдем углы ( \alpha ) и ( \beta ): [ \angle CAB = \alpha = \angle ACD = 26^\circ, ] [ \angle ABC = \beta = \angle BCD = 26^\circ. ]

Однако, заметим, что ( \angle CAB + \angle ABC = \alpha + \beta = 90^\circ ), что противоречит найденным значениям.

Таким образом, фактически, решение сводится к нахождению следующих углов, учитывая условие, что биссектриса и высота исходят из вершины прямого угла.

Учитывая, что угол между высотой и биссектрисой ( \angle DCE = 19^\circ ), и если мы ошиблись в предположении, то:

[ \angle ACD = 45^\circ + 19^\circ = 64^\circ, \quad \angle BCD = 45^\circ - 19^\circ = 26^\circ. ]

Теперь, пересчитываем: [ \angle CAB = \alpha = 26^\circ, ] [ \angle ABC = \beta = 64^\circ. ]

Таким образом, острые углы треугольника будут ( 26^\circ ) и ( 64^\circ ).

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства прямоугольных треугольников и знание тригонометрии.

Пусть острые углы треугольника обозначены как A и B, а прямой угол - C. Также обозначим точку пересечения биссектрисы и высоты как D.

Из условия задачи известно, что угол между биссектрисой и высотой равен 19 градусов. Так как биссектриса делит угол C пополам, то угол ACD равен 9.5 градусов (половина 19 градусов). Также известно, что угол ADC равен 90 градусов, так как высота перпендикулярна основанию треугольника.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. У нас есть два угла: ACD = 9.5 градусов и ADC = 90 градусов. Найдем третий угол, зная что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Таким образом, угол CAD равен 80.5 градусов.

Теперь, зная угол CAD, мы можем найти острый угол треугольника ABC. Так как острый угол треугольника равен углу CAD, то угол BAC = 80.5 градусов. Сумма углов треугольника равна 180 градусов, следовательно угол B равен 9.5 градусов.

Итак, острые углы треугольника равны: A = 80.5 градусов, B = 9.5 градусов.