Из вершины A прямоугольного треугольника ABC $уголC=90градусов,уголB=60градусов$Восстановлен...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать геометрические свойства треугольников и углов.

Из условия известно, что угол ABC равен 60 градусов, а угол ABCM равен 30 градусов. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, то угол MBC равен 90 градусов $180-60-30=90$.

Таким образом, треугольник MBC является прямоугольным с гипотенузой MB и катетами BC и MC. Известно, что AM = h, а угол M равен 90 градусов $таккакAMперпендикуляренкплоскостиABC$.

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику AMB: AB^2 = AM^2 + MB^2 AB^2 = h^2 + MB^2

Так как угол ABCM равен 30 градусов, то треугольник ABC является равносторонним. Поэтому AB = BC = AC.

Тогда: AB = BC = AC = h / sin$60$ = h / √3

Подставляем полученное значение AB в уравнение: $h/\surd 3$^2 = h^2 + MB^2 h^2 / 3 = h^2 + MB^2 MB^2 = 2h^2 / 3 MB = √$2h^2/3$ = h / √3

Таким образом, мы нашли длину стороны MB треугольника MBC. Поскольку треугольник MBC прямоугольный и катеты равны h / √3, то его площадь равна: S = $1/2$ BC MC S = $1/2$ $h/\surd 3$ $h/\surd 3$ S = h^2 / 6

Итак, площадь треугольника MBC равна h^2 / 6.

Для решения задачи начнем с построения и анализа заданной фигуры.

1. У нас есть прямоугольный треугольник $ABC$ с углом $\mathrm{\angle }C={90}^{\circ }$ и углом $\mathrm{\angle }B={60}^{\circ }$. Из этого следует, что угол $\mathrm{\angle }A={30}^{\circ }$.

2. Перпендикуляр $AM$ восстановлен к плоскости $ABC$ из точки $A$. Длина $AM=h$.

3. Точка $M$ соединена с точками $B$ и $C$.

4. Задан двугранный угол между плоскостью $ABC$ и плоскостью $MBC$, равный ${30}^{\circ }$.

Поскольку $AM$ перпендикулярен плоскости $ABC$, и $ABC$ - прямоугольный треугольник, то отрезок $AM$ является высотой из вершины $A$ на гипотенузу $BC$ в пространственной фигуре, образованной тетраэдром $ABCM$.

Двугранный угол между плоскостью $ABC$ и плоскостью $MBC$, равный ${30}^{\circ }$, указывает на то, что плоскость $MBC$ наклонена к плоскости $ABC$ под углом ${30}^{\circ }$. Это означает, что проекция треугольника $MBC$ на плоскость $ABC$ будет иметь уменьшенные размеры в $\cos ({30}^{\circ }$ = \frac{\sqrt{3}}{2} ) раз.

Теперь найдем длину $BC$. Поскольку $AB=AC\cdot \tan ({60}^{\circ }$ = AC \cdot \sqrt{3} ) и $AC=AB\cdot \cos ({60}^{\circ }$ = \frac{AB}{2} ), а $BC$ $гипотенуза$ $=AB\cdot \sin ({60}^{\circ }$ = \frac{\sqrt{3}}{2} AB ). Пусть $AC=x$, тогда $AB=x\sqrt{3}$ и $BC=x\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3x}{2}$.

Площадь треугольника $ABC$: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot AB=\frac{1}{2}x\cdot x\sqrt{3}=\frac{x^2\sqrt{3}}{2}$

Площадь треугольника $MBC$ в проекции на плоскость $ABC$ равна ( S{ABC} ), но на самом деле площадь $MBC$ больше в $\frac{1}{\cos ({30}^{\circ })}=\frac{2}{\sqrt{3}}$ раз. Тогда [ S{MBC} = S_{ABC} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{x^2 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = x^2 ]

Таким образом, площадь треугольника $MBC$ равна $x^2$.