из точки , не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные , равные 10 см и 18 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16 см.Найти проекцию каждой наклонной
из точки , не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные , равные 10 см и 18 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16 см.Найти проекцию каждой наклонной
Чтобы найти проекции каждой из наклонных на плоскость, воспользуемся свойствами векторов и проекций в пространстве.
Обозначим:
Из условия задачи нам известно:
Используя теорему Пифагора для каждой из наклонных, получаем: [ a^2 + c^2 = 10^2 \quad \text{(1)} ] [ b^2 + c^2 = 18^2 \quad \text{(2)} ]
Вычтем уравнение (1) из уравнения (2): [ b^2 + c^2 - a^2 - c^2 = 18^2 - 10^2 ] [ b^2 - a^2 = 324 - 100 ] [ b^2 - a^2 = 224 \quad \text{(3)} ]
Используя тождество разности квадратов и уравнение ( a + b = 16 ): [ (b - a)(b + a) = 224 ] Подставим ( b + a = 16 ): [ (b - a) \cdot 16 = 224 ] [ b - a = \frac{224}{16} = 14 \quad \text{(4)} ]
Теперь у нас есть система уравнений: [ a + b = 16 ] [ b - a = 14 ]
Из этой системы найдем ( a ) и ( b ): [ a + b = 16 ] [ b - a = 14 ]
Сложим и вычтем эти уравнения, чтобы найти ( a ) и ( b ): [ 2b = 30 \quad \Rightarrow \quad b = 15 ] [ 2a = 2 \quad \Rightarrow \quad a = 1 ]
Таким образом, проекции наклонных равны 1 см и 15 см соответственно.
Пусть точка, из которой проведены наклонные, находится на расстоянии h от данной плоскости. Тогда проекция первой наклонной на плоскость равна 10 - h, а проекция второй наклонной на плоскость равна 18 - h.
Из условия задачи известно, что сумма длин проекций равна 16 см: (10 - h) + (18 - h) = 16 28 - 2h = 16 2h = 12 h = 6
Таким образом, точка, из которой проведены наклонные, находится на расстоянии 6 см от данной плоскости.
Проекция первой наклонной на плоскость равна: 10 - 6 = 4 см
Проекция второй наклонной на плоскость равна: 18 - 6 = 12 см
Итак, проекция первой наклонной равна 4 см, а проекция второй наклонной равна 12 см.
