Из точки М проведён перпендикуляр МД,равный 6см,к плоскости квадрата АВСД.Наклонная МВ обрвзует с плоскостью...

а) Для доказательства прямоугольности треугольников МАВ и МСВ посмотрим на угол МВС. Так как МВ образует с плоскостью квадрата угол 60 градусов, то угол МВС также будет равен 60 градусов $уголмеждуперпендикуляроминаклонной$. Таким образом, угол МАВ будет равен 90 градусов, что делает треугольник МАВ прямоугольным. Аналогично, угол МСВ будет равен 30 градусов, что делает треугольник МСВ также прямоугольным.

б) Посмотрим на треугольник МВС. Так как угол МВС равен 30 градусов, а МД равен 6 см, то можно выразить сторону квадрата через тангенс угла наклона: MV = MD / tan$30°$ = 6 см / tan$30°$ ≈ 10.39 см. Таким образом, сторона квадрата равна примерно 10.39 см.

в) Чтобы доказать, что треугольник АВД является проекцией треугольника МАВ на плоскость квадрата, достаточно заметить, что стороны МА и АВ параллельны и равны $таккакМАиМВявляютсякатетамипрямоугольноготреугольникаМАВ$. Таким образом, треугольник АВД является проекцией треугольника МАВ на плоскость квадрата.

Для нахождения площади треугольника АВД можем воспользоваться формулой площади прямоугольного треугольника: S = 0.5 AB AD. Так как сторона квадрата равна 10.39 см, то S = 0.5 10.39 10.39 = 53.95 см². Таким образом, площадь треугольника АВД равна примерно 53.95 квадратных сантиметра.

Давайте рассмотрим поставленные задачи по шагам.

а) Доказательство того, что треугольники МАВ и МСВ прямоугольные

Так как МД перпендикулярен плоскости квадрата, то любой отрезок, соединяющий точку М с точкой на плоскости квадрата, образует с плоскостью тот же угол, что и МВ. Из условия известно, что МВ образует с плоскостью квадрата угол 60 градусов, следовательно, угол между МВ и плоскостью квадрата равен 60 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник МАВ. Точка А лежит на плоскости квадрата, а МД перпендикулярен этой плоскости. Следовательно, МА и МВ являются катетами, а угол МАВ прямой. Аналогичное рассуждение применимо к треугольнику МСВ.

б) Нахождение стороны квадрата

Рассмотрим треугольник МВД. Он является прямоугольным, так как МД перпендикулярен плоскости квадрата $следовательно,исторонеВД$, а ВД лежит в этой плоскости. Так как угол МВД равен 60 градусов, то МВ является гипотенузой, а МД и ВД - катетами. Используя теорему Пифагора и соотношения в прямоугольном треугольнике:

$\sin {60}^{\circ }=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}=\frac{МД}{МВ}=\frac{6}{МВ}$

$МВ=\frac{6}{\sin {60}^{\circ }}=\frac{6}{\sqrt{3}/2}=4\sqrt{3}\text{ см}$

Теперь рассмотрим треугольник МВД:

$\cos {60}^{\circ }=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}=\frac{ВД}{МВ}=\frac{ВД}{4\sqrt{3}}$

$ВД=4\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=2\sqrt{3}\text{ см}$

Сторона квадрата равна 2√3 см.

в) Доказательство, что треугольник АВД является проекцией треугольника МАВ на плоскость квадрата, и нахождение его площади

Так как МД перпендикулярен плоскости квадрата, проекция треугольника МАВ на плоскость квадрата будет треугольником, образованным точками А, В и проекцией точки М на плоскость квадрата, которая совпадает с точкой Д. Таким образом, проекция треугольника МАВ на плоскость квадрата – это треугольник АВД.

Площадь треугольника АВД можно найти как: $S=\frac{1}{2}\cdot \text{основание}\cdot \text{высота}=\frac{1}{2}\cdot ВД\cdot АД=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=6{\text{ см}}^2$

Таким образом, площадь треугольника АВД равна 6 см².