Давайте рассмотрим поставленные задачи по шагам.
а) Доказательство того, что треугольники МАВ и МСВ прямоугольные
Так как МД перпендикулярен плоскости квадрата, то любой отрезок, соединяющий точку М с точкой на плоскости квадрата, образует с плоскостью тот же угол, что и МВ. Из условия известно, что МВ образует с плоскостью квадрата угол 60 градусов, следовательно, угол между МВ и плоскостью квадрата равен 60 градусов.
Теперь рассмотрим треугольник МАВ. Точка А лежит на плоскости квадрата, а МД перпендикулярен этой плоскости. Следовательно, МА и МВ являются катетами, а угол МАВ прямой. Аналогичное рассуждение применимо к треугольнику МСВ.
б) Нахождение стороны квадрата
Рассмотрим треугольник МВД. Он является прямоугольным, так как МД перпендикулярен плоскости квадрата (следовательно, и стороне ВД), а ВД лежит в этой плоскости. Так как угол МВД равен 60 градусов, то МВ является гипотенузой, а МД и ВД - катетами. Используя теорему Пифагора и соотношения в прямоугольном треугольнике:
[ \sin 60^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{МД}{МВ} = \frac{6}{МВ} ]
[ МВ = \frac{6}{\sin 60^\circ} = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = 4\sqrt{3} \text{ см} ]
Теперь рассмотрим треугольник МВД:
[ \cos 60^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{ВД}{МВ} = \frac{ВД}{4\sqrt{3}} ]
[ ВД = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} \text{ см} ]
Сторона квадрата равна 2√3 см.
в) Доказательство, что треугольник АВД является проекцией треугольника МАВ на плоскость квадрата, и нахождение его площади
Так как МД перпендикулярен плоскости квадрата, проекция треугольника МАВ на плоскость квадрата будет треугольником, образованным точками А, В и проекцией точки М на плоскость квадрата, которая совпадает с точкой Д. Таким образом, проекция треугольника МАВ на плоскость квадрата – это треугольник АВД.
Площадь треугольника АВД можно найти как:
[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot ВД \cdot АД = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 6 \text{ см}^2 ]
Таким образом, площадь треугольника АВД равна 6 см².