Из точки А вне окружности проведкны две секущие АВС и АДК. АС-20 см, АК- 25, АВ=ДК. найти дк

Для решения этой задачи применим теорему о секущих линиях, которая гласит: если из точки вне окружности провести две секущие, то произведение длин отрезков одной секущей равно произведению длин отрезков другой секущей. Формально это можно записать так:

[ AB \cdot AC = AD \cdot AK ]

В данной задаче у нас есть следующие данные: ( AC = 20 ) см, ( AK = 25 ) см и ( AB = DK ). Обозначим длину ( AB ) и ( DK ) через ( x ).

Тогда у нас есть два секущих отрезка:

1. Секущая ( ABC ) с отрезками ( AB = x ) и ( AC = 20 + x ).
2. Секущая ( ADK ) с отрезками ( AD = x + 25 ) и ( AK = 25 ).

По теореме о секущих линиях имеем:

[ AB \cdot AC = AD \cdot AK ]

Подставим известные значения:

[ x \cdot (20 + x) = (x + 25) \cdot 25 ]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

[ x \cdot 20 + x^2 = 25x + 625 ]

[ 20x + x^2 = 25x + 625 ]

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

[ x^2 + 20x - 25x - 625 = 0 ]

[ x^2 - 5x - 625 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого используем формулу:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В нашем уравнении ( a = 1 ), ( b = -5 ), и ( c = -625 ). Подставим эти значения в формулу:

[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-625)}}{2 \cdot 1} ]

[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 2500}}{2} ]

[ x = \frac{5 \pm \sqrt{2525}}{2} ]

[ x = \frac{5 \pm 50.25}{2} ]

Получаем два решения:

[ x = \frac{5 + 50.25}{2} = 27.625 ]

[ x = \frac{5 - 50.25}{2} = -22.625 ]

Отрицательное значение длины не имеет физического смысла в нашей задаче, поэтому ( x = 27.625 ).

Таким образом, длина отрезка ( DK ) равна ( 27.625 ) см.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством секущих окружности: произведение отрезков секущей, лежащих внутри окружности, равно произведению отрезков секущей, лежащих вне окружности.

Из этого свойства получаем, что ABAC = ADAK. Так как AB=DK, то ABAC=ABAK. Следовательно, AC=AK=20 см.

Из условия задачи известно, что AC=20 см, AK=25 см. Подставим эти значения в уравнение ABAC=ABAK и найдем значение отрезка DK:

AB20 = AB25 20AB = 25AB 5AB = 20 AB = 4 см

Таким образом, отрезок DK равен 4 см.

ДК = 15 см.