Из точки А вне окружности проведкны две секущие АВС и АДК. АС-20 см, АК- 25, АВ=ДК. найти дк

Для решения этой задачи применим теорему о секущих линиях, которая гласит: если из точки вне окружности провести две секущие, то произведение длин отрезков одной секущей равно произведению длин отрезков другой секущей. Формально это можно записать так:

$AB\cdot AC=AD\cdot AK$

В данной задаче у нас есть следующие данные: $AC=20$ см, $AK=25$ см и $AB=DK$. Обозначим длину $AB$ и $DK$ через $x$.

Тогда у нас есть два секущих отрезка:

1. Секущая $ABC$ с отрезками $AB=x$ и $AC=20+x$.
2. Секущая $ADK$ с отрезками $AD=x+25$ и $AK=25$.

По теореме о секущих линиях имеем:

$AB\cdot AC=AD\cdot AK$

Подставим известные значения:

$x\cdot (20+x)=(x+25)\cdot 25$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$x\cdot 20+x^2=25x+625$

$20x+x^2=25x+625$

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

$x^2+20x-25x-625=0$

$x^2-5x-625=0$

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого используем формулу:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

В нашем уравнении $a=1$, $b=-5$, и $c=-625$. Подставим эти значения в формулу:

$x=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot (-625)}}{2\cdot 1}$

$x=\frac{5\pm \sqrt{25+2500}}{2}$

$x=\frac{5\pm \sqrt{2525}}{2}$

$x=\frac{5\pm 50.25}{2}$

Получаем два решения:

$x=\frac{5+50.25}{2}=27.625$

$x=\frac{5-50.25}{2}=-22.625$

Отрицательное значение длины не имеет физического смысла в нашей задаче, поэтому $x=27.625$.

Таким образом, длина отрезка $DK$ равна $27.625$ см.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством секущих окружности: произведение отрезков секущей, лежащих внутри окружности, равно произведению отрезков секущей, лежащих вне окружности.

Из этого свойства получаем, что ABAC = ADAK. Так как AB=DK, то ABAC=ABAK. Следовательно, AC=AK=20 см.

Из условия задачи известно, что AC=20 см, AK=25 см. Подставим эти значения в уравнение ABAC=ABAK и найдем значение отрезка DK:

AB20 = AB25 20AB = 25AB 5AB = 20 AB = 4 см

Таким образом, отрезок DK равен 4 см.

ДК = 15 см.