Из точки А с окружностью с центром О проведены касательная АВ и АС $ВиС-точкикасания$. Найдите...

В данной задаче мы имеем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Из точки $A$ проведены две касательные к окружности, которые касаются окружности в точках $B$ и $C$. Точки $B$ и $C$ являются точками касания касательных с окружностью, и через них проведены радиусы $OB$ и $OC$. Угол между этими радиусами, $\mathrm{\angle }BOC$, равен 60 градусам. Длина отрезка $OA$ равна 12 см.

Для решения задачи воспользуемся свойствами касательных и треугольников:

1. Равенство касательных: Касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны по длине. Поэтому $AB=AC$.

2. Треугольник OAB и OAC: Треугольники $OAB$ и $OAC$ являются прямоугольными, так как радиусы $OB$ и $OC$ перпендикулярны к касательным $AB$ и $AC$ в точках касания. Эти треугольники также равнобедренные, так как $OB=OC=R$.

3. Центральный угол: Угол $\mathrm{\angle }BOC$ равен 60 градусам.

Для нахождения периметра треугольника $ABC$, мы можем воспользоваться свойством равнобедренного треугольника $OAB$:

• Поскольку $\mathrm{\angle }BOC={60}^{\circ }$, это означает, что дуга $BC$ составляет ${60}^{\circ }$ из ${360}^{\circ }$, что является шестой частью окружности.

• Треугольник $OAB$ равнобедренный и прямоугольный, поэтому $\mathrm{\angle }OAB={90}^{\circ }$.

Теперь найдём длину касательной $AB$:

$O{A}^2=O{B}^2+A{B}^2⟹{12}^2=R^2+A{B}^2⟹144=R^2+A{B}^2$

Поскольку радиусы $OB$ и $OC$ равны и угол между ними равен 60 градусам, получим:

$AB=AC$

Теперь найдём $AB$ или $AC$:

$A{B}^2=144-R^2$

Так как $\mathrm{\angle }BOC={60}^{\circ }$, то можно использовать формулу для радиуса $R$ в треугольнике:

$R=\frac{OA\cdot \sin (\mathrm{\angle }BOC)}{\sin (\mathrm{\angle }OAB\cdot \cos (\mathrm{\angle }BAC))}$

Но мы можем решить эту задачу более просто, найдя $AB$:

$\mathrm{\angle }BAC={180}^{\circ }-2\times {60}^{\circ }={60}^{\circ }$

Таким образом, периметр треугольника $ABC$ равен:

$P_{ABC}=AB+AC+BC=2AB+BC$

Но мы уже знаем $AB=AC$, длина $AB=\sqrt{144-R^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$.

Теперь находим длину дуги $BC$:

$BC=2R\sin (\frac{\mathrm{\angle }BOC}{2})=2R\sin ({30}^{\circ })=2R\cdot 0.5=R$

Теперь складываем все длины:

$P_{ABC}=2\cdot 6\sqrt{3}+6=12\sqrt{3}+6$

Итак, периметр треугольника $ABC$ равен $12\sqrt{3}+6$ см.

Периметр треугольника АВС равен 36 см.

Для нахождения периметра треугольника АВС нам нужно сначала найти длины сторон треугольника. Поскольку ОА = 12 см, то радиус окружности равен 12 см.

Так как ВОС = 60 градусов, то треугольник ВОС является равносторонним, а значит сторона ВС также равна 12 см.

Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания, то треугольник ОАВ является прямоугольным. Поэтому, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения стороны АВ.

Пусть длина стороны АВ равна х см. Тогда получаем:

12^2 + х^2 = $12+х$^2 144 + х^2 = 144 + 24х + х^2 24х = 144 х = 6

Таким образом, сторона АВ равна 6 см.

Теперь можем найти периметр треугольника АВС:

Периметр = АВ + ВС + АС Периметр = 6 + 12 + 12 Периметр = 30

Итак, периметр треугольника АВС равен 30 см.