Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр, равный а, и наклонная; угол между ними...

Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой косинусов. Обозначим длину наклонной как b. Тогда по теореме косинусов для треугольника, образованного наклонной, перпендикуляром и отрезком между ними, имеем: b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cos(45°), где c - искомая длина наклонной.

Так как cos(45°) = sqrt(2) / 2, подставляем значение и получаем: b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*sqrt(2) / 2.

Далее выразим c из этого уравнения: c^2 - 2acsqrt(2) / 2 = b^2 - a^2, c^2 - acsqrt(2) = b^2 - a^2, c^2 - acsqrt(2) + a^2 = b^2, c^2 - a(sqrt(2)c) + a^2 = b^2, (c - asqrt(2)/2)^2 = b^2.

Таким образом, получаем, что длина наклонной равна (a*sqrt(2)/2 + a), то есть c = a(sqrt(2)/2 + 1).

Давайте рассмотрим задачу более подробно.

У нас есть плоскость и некоторая точка ( P ) вне этой плоскости. Из точки ( P ) проведены два отрезка: перпендикуляр ( PO ) к плоскости и наклонная ( PQ ), где ( O ) — точка пересечения перпендикуляра с плоскостью. Длина перпендикуляра ( PO = a ). Угол между перпендикуляром ( PO ) и наклонной ( PQ ) равен ( 45^\circ ).

Нам нужно найти длину наклонной ( PQ ).

Решение

1. Определяем геометрические отношения:

   • По определению, наклонная ( PQ ) и перпендикуляр ( PO ) образуют угол ( \angle POQ = 45^\circ ).
   • Из точки ( Q ) на плоскости через точку ( O ) проведем проекцию ( OQ ) наклонной ( PQ ).

2. Используем тригонометрию:

   • В прямоугольном треугольнике ( POQ ) угол ( \angle POQ = 45^\circ ).
   • Из свойств треугольника с углом ( 45^\circ ), катет ( PO ) и гипотенуза ( PQ ) связаны следующим отношением: [ \cos(45^\circ) = \frac{PO}{PQ} = \frac{a}{PQ} ]

3. Вычисляем длину наклонной:

   • Зная, что ( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ), подставляем в уравнение: [ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{PQ} ]
   • Умножим обе части на ( PQ ) и разделим на (\frac{\sqrt{2}}{2}): [ PQ = \frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = a \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = a \cdot \sqrt{2} ]

Таким образом, длина наклонной ( PQ ) равна ( a\sqrt{2} ).

Ответ

Длина наклонной ( PQ ) равна ( a\sqrt{2} ).