HELP На высоте CH равнобедренного треугольника ABC с основанием AB отметили точку M. Докажите, что треугольник...

ДАНО: В равнобедренном треугольнике ABC с высотой CH отмечена точка M на отрезке CH.

РЕШЕНИЕ:

1. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то AC = BC.
2. Из свойства высоты треугольника следует, что AM = BM (так как треугольники AMC и BMC равны по двум сторонам и углу между ними).
3. Из полученного равенства AM = BM следует, что треугольник AMB также является равнобедренным.

Таким образом, треугольник AMB также является равнобедренным.

(Рисунок)

  A
 /|\
/ | \

/ | \ / | \ / | \ M-----C-----B

  H

Для решения задачи начнем с формулировки условия и доказательства:

ДАНО:

1. Треугольник ( ABC ) — равнобедренный, ( AC = BC ).
2. ( CH ) — высота треугольника ( ABC ).
3. ( M ) — точка на высоте ( CH ).

ТРЕБУЕТСЯ ДОКАЗАТЬ: Треугольник ( AMB ) равнобедренный.

РЕШЕНИЕ:

1. Свойства равнобедренного треугольника:

   • В равнобедренном треугольнике ( ABC ) с основанием ( AB ) высота ( CH ) также является медианой и биссектрисой, то есть ( AH = BH ).

2. Рассмотрим треугольники ( \triangle ACH ) и ( \triangle BCH ):

   • Поскольку ( AC = BC ) (по условию равнобедренного треугольника),
   • ( CH ) общая сторона для обоих треугольников,
   • ( AH = BH ) (как было упомянуто выше, так как ( CH ) — медиана).

   Из вышеуказанных свойств следует, что треугольники ( \triangle ACH ) и ( \triangle BCH ) равны по трем сторонам (ССС).

3. Положение точки ( M ):

   • Точка ( M ) находится на высоте ( CH ). Следовательно, ( M ) лежит на прямой, которая является общей для треугольников ( \triangle ACH ) и ( \triangle BCH ).

4. Рассмотрим треугольники ( \triangle AMH ) и ( \triangle BMH ):

   • ( AH = BH ) (из равенства треугольников ( \triangle ACH ) и ( \triangle BCH )),
   • ( HM ) общая сторона,
   • ( \angle AMH = \angle BMH = 90^\circ ) (так как ( CH ) — высота, а значит, перпендикулярна к ( AB )).

   Следовательно, треугольники ( \triangle AMH ) и ( \triangle BMH ) равны по гипотенузе и катету (по признаку равенства прямоугольных треугольников).

5. Из равенства треугольников ( \triangle AMH ) и ( \triangle BMH ) следует:

   • ( AM = BM ).

Таким образом, треугольник ( AMB ) является равнобедренным, что и требовалось доказать.

РИСУНОК: Чтобы представить рисунок, нарисуйте равнобедренный треугольник ( ABC ) с основанием ( AB ). Проведите высоту ( CH ) из вершины ( C ) на основание ( AB ), отметьте точку ( M ) на ( CH ). Теперь вы должны увидеть, что треугольники ( \triangle AMH ) и ( \triangle BMH ) равны, и, следовательно, ( AM = BM ).