Гипотенуза прямоугольного треугольника в 4 раза больше высоты проведённой к ней. найдите острые углы...

Для решения задачи обозначим гипотенузу прямоугольного треугольника как ( c ), а высоту, проведенную к ней, как ( h ). По условию задачи, известно, что ( c = 4h ).

Вспомним, что высота, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, делит треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику. Также, высота ( h ) является средним геометрическим между отрезками, на которые она делит гипотенузу. Обозначим эти отрезки как ( a ) и ( b ), тогда ( h = \sqrt{ab} ).

Однако, учитывая что ( c = a + b ) и ( c = 4h ), мы можем записать уравнения ( a + b = 4h ) и ( h = \sqrt{ab} ).

Рассмотрим треугольник с катетами ( x ) и ( y ) и гипотенузой ( c ). Поскольку ( h ) является высотой, проведенной к гипотенузе, можно применить формулу площади треугольника:

[ \text{Площадь} = \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}ch = \frac{1}{2} \times 4h \times h = 2h^2 ]

Отсюда:

[ xy = 4h^2 ]

Теперь используем тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Пусть угол напротив катета ( x ) равен ( \alpha ), а угол напротив катета ( y ) равен ( \beta ). Тогда:

[ \sin \alpha = \frac{y}{c} \quad \text{и} \quad \cos \alpha = \frac{x}{c} ]

Используем основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ]

Подставляем выражения через ( x ) и ( y ):

[ \left( \frac{y}{4h} \right)^2 + \left( \frac{x}{4h} \right)^2 = 1 ]

Упростим это уравнение:

[ \frac{y^2}{16h^2} + \frac{x^2}{16h^2} = 1 ]

[ \frac{y^2 + x^2}{16h^2} = 1 ]

[ y^2 + x^2 = 16h^2 ]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. ( xy = 4h^2 )
2. ( x^2 + y^2 = 16h^2 )

Решим их систему. Из первого уравнения выразим ( y ) через ( x ):

[ y = \frac{4h^2}{x} ]

Подставим это выражение во второе уравнение:

[ x^2 + \left( \frac{4h^2}{x} \right)^2 = 16h^2 ]

[ x^2 + \frac{16h^4}{x^2} = 16h^2 ]

Умножим на ( x^2 ), чтобы избавиться от дроби:

[ x^4 + 16h^4 = 16h^2 x^2 ]

Перепишем это уравнение:

[ x^4 - 16h^2 x^2 + 16h^4 = 0 ]

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно ( x^2 ):

[ (x^2)^2 - 16h^2 (x^2) + 16h^4 = 0 ]

Обозначим ( u = x^2 ), тогда:

[ u^2 - 16h^2 u + 16h^4 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение:

[ u = \frac{16h^2 \pm \sqrt{(16h^2)^2 - 4 \cdot 16h^4}}{2} ]

[ u = \frac{16h^2 \pm \sqrt{256h^4 - 64h^4}}{2} ]

[ u = \frac{16h^2 \pm \sqrt{192h^4}}{2} ]

[ u = \frac{16h^2 \pm 8\sqrt{3} h^2}{2} ]

[ u = 8h^2 \pm 4\sqrt{3} h^2 ]

[ u_1 = 8h^2 + 4\sqrt{3} h^2 = (8 + 4\sqrt{3}) h^2 ]

[ u_2 = 8h^2 - 4\sqrt{3} h^2 = (8 - 4\sqrt{3}) h^2 ]

Значит:

[ x^2 = (8 + 4\sqrt{3}) h^2 \quad \text{и} \quad y^2 = (8 - 4\sqrt{3}) h^2 ]

Возьмем корни:

[ x = h \sqrt{8 + 4\sqrt{3}} \quad \text{и} \quad y = h \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} ]

Теперь найдем острые углы. Рассмотрим угол ( \alpha ):

[ \tan \alpha = \frac{y}{x} = \sqrt{\frac{8 - 4\sqrt{3}}{8 + 4\sqrt{3}}} ]

Используем обратную функцию тангенса для нахождения угла:

[ \alpha = \arctan \left( \sqrt{\frac{8 - 4\sqrt{3}}{8 + 4\sqrt{3}}} \right) ]

Аналогично, для угла ( \beta ):

[ \beta = 90^\circ - \alpha ]

Таким образом, мы находим острые углы треугольника.

Дано: гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4h, где h - высота, проведенная к гипотенузе.

Пусть катеты треугольника равны a и b, а углы противоположные катетам равны α и β соответственно.

Так как у нас прямоугольный треугольник, то справедливо следующее уравнение: a^2 + b^2 = (4h)^2 = 16h^2.

Также известно, что h = b и a = 4h.

Подставим эти значения в уравнение и получим: (4h)^2 + (h)^2 = 16h^2 + h^2 = 17h^2 = a^2.

Теперь найдем углы треугольника:

Так как sin(α) = a/h = 4h/h = 4 и sin(β) = b/h = h/h = 1, то sin(α) = 4 и sin(β) = 1.

Из таблицы значений sin углов видно, что α = 75° и β = 15°.

Таким образом, острые углы прямоугольного треугольника равны 75° и 15°.