Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с,а острый угол –а.найдите биссектрису,проведенную из вершины...

Тематика Геометрия
Уровень 5 - 9 классы
гипотенуза прямоугольный треугольник острый угол биссектриса вершина угла вычисление геометрия
0

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с,а острый угол –а.найдите биссектрису,проведенную из вершины этого угла

avatar
задан 7 месяцев назад

2 Ответа

0

Биссектриса, проведенная из вершины острого угла прямоугольного треугольника, делит этот угол пополам и перпендикулярна гипотенузе. Таким образом, биссектриса будет являться высотой, проходящей через вершину острого угла и пересекающей гипотенузу, разделяя её на две части в пропорции, соответствующей катетам треугольника.

Для нахождения биссектрисы проведем перпендикуляр к гипотенузе из вершины острого угла, образуя два подтреугольника. Так как у нас есть данные о гипотенузе и угле, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения катетов и, соответственно, биссектрисы.

Если обозначить катеты треугольника как a и b, гипотенузу как c, то можно воспользоваться следующими формулами: a = c sina b = c cosa

Зная значения катетов, мы можем найти длину биссектрисы, проведенной из вершины острого угла.

avatar
ответил 7 месяцев назад
0

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и теоремой о биссектрисе.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Гипотенуза AB=c, а угол A=α. Нам нужно найти длину биссектрисы AD, проведенной из вершины угла A на сторону BC.

Используем свойство биссектрисы в прямоугольном треугольнике:

  1. Определим длины сторон AC и BC:

    • AC=b
    • BC=a

    В прямоугольном треугольнике сторона a противоположна углу α, а сторона b прилежит к углу α.

    Используем тригонометрические функции для нахождения a и b: sin(α)=aca=csin(α) cos(α)=bcb=ccos(α)

  2. Формула для длины биссектрисы: Для нахождения длины биссектрисы AD из вершины прямого угла A используется следующая формула: AD=ABAC(1BC2(AB+AC)2)

    Подставим наши значения: AD=cb(1a2(c+b)2)

  3. Подставим значения a и b: AD=c(ccos(α))(1(csin(α))2(c+ccos(α))2)

  4. Упростим выражение: AD=c2cos(α)(1c2sin2(α)(c(1+cos(α)))2) AD=c2cos(α)(1c2sin2(α)c2(1+cos(α))2) AD=c2cos(α)(1sin2(α)(1+cos(α))2)

  5. Используем тригонометрическое тождество: sin2(α)+cos2(α)=1sin2(α)=1cos2(α)

    Подставим это в выражение: AD=c2cos(α)(11cos2(α)(1+cos(α))2) AD=c2cos(α)(11cos2(α)1+2cos(α)+cos2(α))

  6. Упростим выражение: AD=c2cos(α)(11cos2(α)1+2cos(α)+cos2(α)) AD=c2cos(α)((1+2cos(α)+cos2(α))(1cos2(α))1+2cos(α)+cos2(α)) AD=c2cos(α)(2cos(α)+2cos2(α)1+2cos(α)+cos2(α)) AD=c2cos(α)2cos(α)(1+cos(α))(1+cos(α))2 AD=c2cos(α)2cos(α)1+cos(α) AD=2c2cos2(α)11+cos(α) AD=2c2cos2(α)1+cos(α) AD=c2cos2(α)1+cos(α) AD=c2cos2(α)1+cos(α) AD=ccos(α)1+cos(α)

Таким образом, длина биссектрисы AD, проведенной из вершины угла A прямоугольного треугольника, будет равна: AD=ccos(α)1+cos(α)

Этот результат можно использовать для нахождения длины биссектрисы в любом прямоугольном треугольнике, зная гипотенузу и один из острых углов.

avatar
ответил 7 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме