Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с,а острый угол –а.найдите биссектрису,проведенную из вершины...

Биссектриса, проведенная из вершины острого угла прямоугольного треугольника, делит этот угол пополам и перпендикулярна гипотенузе. Таким образом, биссектриса будет являться высотой, проходящей через вершину острого угла и пересекающей гипотенузу, разделяя её на две части в пропорции, соответствующей катетам треугольника.

Для нахождения биссектрисы проведем перпендикуляр к гипотенузе из вершины острого угла, образуя два подтреугольника. Так как у нас есть данные о гипотенузе и угле, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения катетов и, соответственно, биссектрисы.

Если обозначить катеты треугольника как a и b, гипотенузу как c, то можно воспользоваться следующими формулами: a = c sin$a$ b = c cos$a$

Зная значения катетов, мы можем найти длину биссектрисы, проведенной из вершины острого угла.

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и теоремой о биссектрисе.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Гипотенуза $AB=c$, а угол $A=\alpha$. Нам нужно найти длину биссектрисы $AD$, проведенной из вершины угла $A$ на сторону $BC$.

Используем свойство биссектрисы в прямоугольном треугольнике:

1. Определим длины сторон $AC$ и $BC$:

   • $AC=b$
   • $BC=a$

   В прямоугольном треугольнике сторона $a$ противоположна углу $\alpha$, а сторона $b$ прилежит к углу $\alpha$.

   Используем тригонометрические функции для нахождения $a$ и $b$: $\sin (\alpha )=\frac{a}{c}\Rightarrow a=c\sin (\alpha )$ $\cos (\alpha )=\frac{b}{c}\Rightarrow b=c\cos (\alpha )$

2. Формула для длины биссектрисы: Для нахождения длины биссектрисы $AD$ из вершины прямого угла $A$ используется следующая формула: $AD=\sqrt{AB\cdot AC(1-\frac{B{C}^2}{(AB+AC{)}^2})}$

   Подставим наши значения: $AD=\sqrt{c\cdot b(1-\frac{a^2}{(c+b{)}^2})}$

3. Подставим значения $a$ и $b$: $AD=\sqrt{c\cdot (c\cos (\alpha ))(1-\frac{(c\sin (\alpha ){)}^2}{(c+c\cos (\alpha ){)}^2})}$

4. Упростим выражение: $AD=\sqrt{c^2\cos (\alpha )(1-\frac{c^2{\sin }^2(\alpha )}{(c(1+\cos (\alpha )){)}^2})}$ $AD=\sqrt{c^2\cos (\alpha )(1-\frac{c^2{\sin }^2(\alpha )}{c^2(1+\cos (\alpha ){)}^2})}$ $AD=\sqrt{c^2\cos (\alpha )(1-\frac{{\sin }^2(\alpha )}{(1+\cos (\alpha ){)}^2})}$

5. Используем тригонометрическое тождество: ${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1\Rightarrow {\sin }^2(\alpha )=1-{\cos }^2(\alpha )$

   Подставим это в выражение: $AD=\sqrt{c^2\cos (\alpha )(1-\frac{1-{\cos }^2(\alpha )}{(1+\cos (\alpha ){)}^2})}$ $AD=\sqrt{c^2\cos (\alpha )(1-\frac{1-{\cos }^2(\alpha )}{1+2\cos (\alpha )+{\cos }^2(\alpha )})}$

6. Упростим выражение: $AD=\sqrt{c^2\cos (\alpha )(1-\frac{1-{\cos }^2(\alpha )}{1+2\cos (\alpha )+{\cos }^2(\alpha )})}$ $AD=\sqrt{c^2\cos (\alpha )\left(\frac{(1+2\cos (\alpha )+{\cos }^2(\alpha ))-(1-{\cos }^2(\alpha ))}{1+2\cos (\alpha )+{\cos }^2(\alpha )}\right)}$ $AD=\sqrt{c^2\cos (\alpha )\left(\frac{2\cos (\alpha )+2{\cos }^2(\alpha )}{1+2\cos (\alpha )+{\cos }^2(\alpha )}\right)}$ $AD=\sqrt{c^2\cos (\alpha )\cdot \frac{2\cos (\alpha )(1+\cos (\alpha ))}{(1+\cos (\alpha ){)}^2}}$ $AD=\sqrt{c^2\cos (\alpha )\cdot \frac{2\cos (\alpha )}{1+\cos (\alpha )}}$ $AD=\sqrt{2c^2{\cos }^2(\alpha )\cdot \frac{1}{1+\cos (\alpha )}}$ $AD=\sqrt{2c^2\frac{{\cos }^2(\alpha )}{1+\cos (\alpha )}}$ $AD=c\sqrt{\frac{2{\cos }^2(\alpha )}{1+\cos (\alpha )}}$ $AD=c\sqrt{2\cdot \frac{{\cos }^2(\alpha )}{1+\cos (\alpha )}}$ $AD=c\cdot \frac{\cos (\alpha )}{\sqrt{1+\cos (\alpha )}}$

Таким образом, длина биссектрисы $AD$, проведенной из вершины угла $A$ прямоугольного треугольника, будет равна: $AD=\frac{c\cos (\alpha )}{\sqrt{1+\cos (\alpha )}}$

Этот результат можно использовать для нахождения длины биссектрисы в любом прямоугольном треугольнике, зная гипотенузу и один из острых углов.