Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с,а острый угол –а.найдите биссектрису,проведенную из вершины...

Биссектриса, проведенная из вершины острого угла прямоугольного треугольника, делит этот угол пополам и перпендикулярна гипотенузе. Таким образом, биссектриса будет являться высотой, проходящей через вершину острого угла и пересекающей гипотенузу, разделяя её на две части в пропорции, соответствующей катетам треугольника.

Для нахождения биссектрисы проведем перпендикуляр к гипотенузе из вершины острого угла, образуя два подтреугольника. Так как у нас есть данные о гипотенузе и угле, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения катетов и, соответственно, биссектрисы.

Если обозначить катеты треугольника как a и b, гипотенузу как c, то можно воспользоваться следующими формулами: a = c sin(a) b = c cos(a)

Зная значения катетов, мы можем найти длину биссектрисы, проведенной из вершины острого угла.

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и теоремой о биссектрисе.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ( ABC ) с прямым углом ( C ). Гипотенуза ( AB = c ), а угол ( A = \alpha ). Нам нужно найти длину биссектрисы ( AD ), проведенной из вершины угла ( A ) на сторону ( BC ).

Используем свойство биссектрисы в прямоугольном треугольнике:

1. Определим длины сторон ( AC ) и ( BC ):

   • ( AC = b )
   • ( BC = a )

   В прямоугольном треугольнике сторона ( a ) противоположна углу ( \alpha ), а сторона ( b ) прилежит к углу ( \alpha ).

   Используем тригонометрические функции для нахождения ( a ) и ( b ): [ \sin(\alpha) = \frac{a}{c} \quad \Rightarrow \quad a = c \sin(\alpha) ] [ \cos(\alpha) = \frac{b}{c} \quad \Rightarrow \quad b = c \cos(\alpha) ]

2. Формула для длины биссектрисы: Для нахождения длины биссектрисы ( AD ) из вершины прямого угла ( A ) используется следующая формула: [ AD = \sqrt{AB \cdot AC \left( 1 - \frac{BC^2}{(AB + AC)^2} \right)} ]

   Подставим наши значения: [ AD = \sqrt{c \cdot b \left( 1 - \frac{a^2}{(c + b)^2} \right)} ]

3. Подставим значения ( a ) и ( b ): [ AD = \sqrt{c \cdot (c \cos(\alpha)) \left( 1 - \frac{(c \sin(\alpha))^2}{(c + c \cos(\alpha))^2} \right)} ]

4. Упростим выражение: [ AD = \sqrt{c^2 \cos(\alpha) \left( 1 - \frac{c^2 \sin^2(\alpha)}{(c (1 + \cos(\alpha)))^2} \right)} ] [ AD = \sqrt{c^2 \cos(\alpha) \left( 1 - \frac{c^2 \sin^2(\alpha)}{c^2 (1 + \cos(\alpha))^2} \right)} ] [ AD = \sqrt{c^2 \cos(\alpha) \left( 1 - \frac{\sin^2(\alpha)}{(1 + \cos(\alpha))^2} \right)} ]

5. Используем тригонометрическое тождество: [ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) ]

   Подставим это в выражение: [ AD = \sqrt{c^2 \cos(\alpha) \left( 1 - \frac{1 - \cos^2(\alpha)}{(1 + \cos(\alpha))^2} \right)} ] [ AD = \sqrt{c^2 \cos(\alpha) \left( 1 - \frac{1 - \cos^2(\alpha)}{1 + 2\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)} \right)} ]

6. Упростим выражение: [ AD = \sqrt{c^2 \cos(\alpha) \left( 1 - \frac{1 - \cos^2(\alpha)}{1 + 2\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)} \right)} ] [ AD = \sqrt{c^2 \cos(\alpha) \left( \frac{(1 + 2\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)) - (1 - \cos^2(\alpha))}{1 + 2\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)} \right)} ] [ AD = \sqrt{c^2 \cos(\alpha) \left( \frac{2\cos(\alpha) + 2\cos^2(\alpha)}{1 + 2\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)} \right)} ] [ AD = \sqrt{c^2 \cos(\alpha) \cdot \frac{2\cos(\alpha)(1 + \cos(\alpha))}{(1 + \cos(\alpha))^2}} ] [ AD = \sqrt{c^2 \cos(\alpha) \cdot \frac{2\cos(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}} ] [ AD = \sqrt{2c^2 \cos^2(\alpha) \cdot \frac{1}{1 + \cos(\alpha)}} ] [ AD = \sqrt{2c^2 \frac{\cos^2(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}} ] [ AD = c \sqrt{\frac{2 \cos^2(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}} ] [ AD = c \sqrt{2 \cdot \frac{\cos^2(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}} ] [ AD = c \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sqrt{1 + \cos(\alpha)}} ]

Таким образом, длина биссектрисы ( AD ), проведенной из вершины угла ( A ) прямоугольного треугольника, будет равна: [ AD = \frac{c \cos(\alpha)}{\sqrt{1 + \cos(\alpha)}} ]

Этот результат можно использовать для нахождения длины биссектрисы в любом прямоугольном треугольнике, зная гипотенузу и один из острых углов.