Если сферу радиусом 10 пересечена плоскостью на расстоянии 8 от центра, то какая длина линии пересечения?

Чтобы найти длину линии пересечения сферы с плоскостью, которая находится на расстоянии 8 единиц от центра сферы, мы сначала определим радиус окружности, образованной пересечением.

Сфера имеет радиус ( R = 10 ). Когда плоскость пересекает сферу, на расстоянии ( d = 8 ) от центра, линия пересечения представляет собой окружность. Чтобы найти радиус этой окружности, используем теорему Пифагора в трехмерном пространстве.

Рассмотрим треугольник, где один катет — это расстояние от центра сферы до плоскости (( d = 8 )), другой катет — это радиус искомой окружности (( r )), и гипотенуза — это радиус сферы (( R = 10 )):

[ R^2 = r^2 + d^2 ]

Подставляем известные значения:

[ 10^2 = r^2 + 8^2 ]

[ 100 = r^2 + 64 ]

[ r^2 = 100 - 64 ]

[ r^2 = 36 ]

[ r = \sqrt{36} = 6 ]

Теперь, когда мы знаем радиус окружности пересечения (( r = 6 )), можем найти длину этой окружности по формуле длины окружности:

[ C = 2\pi r ]

Подставляем значение радиуса:

[ C = 2\pi \times 6 = 12\pi ]

Таким образом, длина линии пересечения составляет ( 12\pi ) единиц.

Длина линии пересечения будет 6.

Для решения данной задачи нам необходимо определить точку пересечения плоскости с сферой. Так как плоскость находится на расстоянии 8 от центра сферы, то мы можем построить прямую, соединяющую центр сферы и точку пересечения плоскости. Эта прямая будет перпендикулярна плоскости и проходить через точку пересечения.

Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной радиусу сферы (10), катетом, равным расстоянию от центра до плоскости (8), и гипотенузой, которую мы ищем (линия пересечения). По теореме Пифагора мы можем найти длину линии пересечения:

( \text{линия пересечения} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 )

Таким образом, длина линии пересечения равна 6.