Две стороны треугольника равны 3 см и 7 см, а угол противолежащий большей из них,равен 60 градусов....

Чтобы решить задачу, воспользуемся теоремой косинусов, которая связывает стороны треугольника с углами между ними. Пусть ( a = 3 ) см, ( b = 7 ) см, а ( \theta = 60^\circ ) — угол противолежащий стороне ( b ). Нам нужно найти третью сторону ( c ) и доказать, что угол противолежащий этой стороне тупой.

а) Найдем третью сторону треугольника ( c ).

Теорема косинусов гласит: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta) ]

Подставим известные значения: [ c^2 = 3^2 + 7^2 - 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ) ]

Так как (\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}): [ c^2 = 9 + 49 - 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} ] [ c^2 = 9 + 49 - 21 ] [ c^2 = 37 ]

Следовательно: [ c = \sqrt{37} \approx 6.08 \, \text{см} ]

б) Докажем, что угол противолежащий третьей стороне тупой.

Обозначим углы треугольника: ( \alpha ) — угол противолежащий стороне ( a ) (3 см), ( \beta ) — угол противолежащий стороне ( b ) (7 см), ( \gamma ) — угол противолежащий стороне ( c ) ((\sqrt{37}) см).

Мы знаем, что ( \beta = 60^\circ ). Используем теорему косинусов для нахождения угла (\alpha):

Теорема косинусов в другой форме: [ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) ]

Подставим известные значения: [ 3^2 = 7^2 + (\sqrt{37})^2 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{37} \cdot \cos(\alpha) ] [ 9 = 49 + 37 - 14 \sqrt{37} \cos(\alpha) ] [ 9 = 86 - 14 \sqrt{37} \cos(\alpha) ] [ -77 = -14 \sqrt{37} \cos(\alpha) ] [ \cos(\alpha) = \frac{77}{14 \sqrt{37}} ] [ \cos(\alpha) = \frac{77}{14 \cdot \sqrt{37}} = \frac{77}{14 \cdot 6.08} \approx 0.9 ]

Так как ( \cos(90^\circ) = 0 ) и ( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} ), угол (\alpha) меньше (90^\circ).

Теперь найдем угол (\gamma): [ \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta ]

Так как угол ( \alpha ) меньше (90^\circ) и ( \beta = 60^\circ ): [ \gamma = 180^\circ - \alpha - 60^\circ ]

Поскольку (\alpha) меньше (90^\circ), то (\gamma) будет больше (90^\circ): [ \gamma = 180^\circ - 60^\circ - \alpha ] [ \gamma = 120^\circ - \alpha ]

Так как (\alpha) меньше (90^\circ), (\gamma) больше (90^\circ), следовательно, угол (\gamma) тупой.

Таким образом, мы нашли третью сторону треугольника и доказали, что угол противолежащий этой стороне тупой.

а) Для нахождения третьей стороны треугольника воспользуемся законом косинусов: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C), где c - третья сторона, a = 3 см, b = 7 см, C = 60 градусов.

c^2 = 3^2 + 7^2 - 237cos(60) c^2 = 9 + 49 - 420.5 c^2 = 58 - 21 c^2 = 37 c = √37 ≈ 6.08 см

Ответ: третья сторона треугольника равна примерно 6.08 см.

б) Чтобы доказать, что угол, противолежащий третьей стороне, тупой, используем теорему косинусов: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C), где c - третья сторона, a = 3 см, b = 7 см, C = 60 градусов.

Так как c^2 > a^2 + b^2, то угол, противолежащий третьей стороне, тупой.

Доказано: угол, противолежащий третьей стороне, тупой.